Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2019 (Zone Amérique du Sud) est un modèle de complétude pour tout élève de 3ème. Il balaye en un seul énoncé les piliers de la géométrie du collège : le théorème de Pythagore pour les longueurs dans un triangle rectangle, le théorème de Thalès pour la proportionnalité, la trigonométrie pour le calcul d'angles et enfin la géométrie dans l'espace avec le calcul de volume d'un cylindre associé à une conversion de masse. L'intérêt de cet exercice réside dans sa capacité à lier des situations concrètes (un silo à grains et un ascenseur à blé) à des modèles mathématiques abstraits.

Analyse Méthodique de l'exercice

L'exercice commence par une modélisation géométrique. Nous sommes en présence de deux triangles imbriqués, CEF et CMH, avec des propriétés de perpendicularité essentielles.

1. Calcul de la longueur de l'ascenseur (CM) : Le réflexe Pythagore

Pour calculer la longueur CM, il faut se placer dans le triangle CHM. L'énoncé précise que (MH) est perpendiculaire à (CH), ce qui fait de CHM un triangle rectangle en H. Selon le théorème de Pythagore, nous avons la relation suivante : $CM^2 = CH^2 + HM^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies ($CH = 8,50$ m et $HM = 20,40$ m), on obtient $CM^2 = 8,50^2 + 20,40^2 = 72,25 + 416,16 = 488,41$. En extrayant la racine carrée, on trouve $CM = 22,10$ m. L'ascenseur mesure donc exactement 22,10 mètres.

2. Calcul de la hauteur du pilier (EF) : L'application de Thalès

La question porte sur la longueur EF. On observe que les points C, E, M d'une part et C, F, H d'autre part sont alignés. De plus, (EF) et (MH) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (CH). Propriété fondamentale : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Ainsi, (EF) // (MH). Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès : $CF/CH = EF/MH$. En isolant EF, on obtient $EF = (CF \times MH) / CH$. Avec $CF = 2,50$, $MH = 20,40$ et $CH = 8,50$, le calcul donne $EF = (2,5 imes 20,4) / 8,5 = 51 / 8,5 = 6$ m. Le pilier mesure 6 mètres de haut.

3. Calcul de l'angle d'inclinaison : La trigonométrie

On cherche l'angle $\widehat{HCM}$ dans le triangle CHM rectangle en H. Nous connaissons le côté opposé (HM) et le côté adjacent (CH). La formule de la tangente est donc la plus adaptée : $\tan(\widehat{HCM}) = HM / CH = 20,40 / 8,50 = 2,4$. À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $tan^{-1}$), on trouve $\widehat{HCM} \approx 67,38^\circ$. L'énoncé demande une valeur arrondie au degré près, soit $67^\circ$.

4. Volume et stockage : Géométrie dans l'espace et Masse

Cette dernière partie demande une attention particulière sur les unités. Le silo est un cylindre. Son volume $V$ est donné par $\pi \times R^2 \times h$. Attention : l'énoncé donne le diamètre $HP = 4,20$ m, donc le rayon $R = 2,10$ m. La hauteur $h$ est $HM = 20,40$ m. $V = \pi \times 2,1^2 \times 20,4 \approx 282,74$ $m^3$. Sachant qu'un $m^3$ pèse $800$ kg, la masse totale est $282,74 \times 800 = 226192$ kg. Pour convertir en tonnes (1 tonne = 1000 kg), on divise par 1000, soit environ $226,192$ tonnes. Arrondi à la tonne près, on obtient 226 tonnes.

Les Pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente concerne le calcul du volume : beaucoup d'élèves utilisent le diamètre (4,20) au lieu du rayon (2,10) dans la formule du cylindre. Un autre piège classique est d'oublier de justifier le parallélisme avant d'utiliser Thalès. Enfin, assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode 'Degré' pour la trigonométrie et non en 'Radian'.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, nommez systématiquement le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle avant d'utiliser Pythagore ou la trigonométrie. Pour Thalès, la mention des points alignés et des droites parallèles est obligatoire. Pour les résultats, n'oubliez jamais l'unité (m, $m^3$, kg, t) et respectez scrupuleusement les arrondis demandés (au degré près, à la tonne près).