Introduction à l'Algorithmique au Brevet de Mathématiques

L'algorithmique et la programmation, principalement via le logiciel Scratch, sont devenus des piliers incontournables de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). L'exercice 8 du sujet Nouvelle-Calédonie 2019 est un modèle du genre : il sollicite à la fois la vision spatiale, la compréhension des boucles itératives et la manipulation de variables. Cet exercice permet de vérifier si l'élève est capable de traduire un script visuel en une figure géométrique précise et vice versa.

L'objectif de cette analyse est de décortiquer les mécanismes de rotation et d'incrémentation qui régissent ces scripts. Nous allons voir comment les notions de géométrie plane, notamment les angles et les polygones réguliers, s'articulent avec la logique informatique.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Identification du Polygone

La première question demande d'associer un script Scratch à un dessin. Le script comporte une boucle de répétition : répéter 6 fois. À l'intérieur de cette boucle, nous trouvons une instruction de mouvement avancer de 50 pas et une instruction de rotation tourner de 60 degrés.

Pour résoudre ce problème, il faut appliquer la règle fondamentale des polygones réguliers en programmation : la somme des angles extérieurs de rotation pour fermer une figure est de $360^{\circ}$. Ici, l'instruction de rotation est de $60^{\circ}$. Si l'on divise $360$ par le nombre de répétitions ($6$), on obtient bien $60$. Le script trace donc un polygone régulier à 6 côtés, c'est-à-dire un hexagone.

En observant les propositions : - Le Dessin n°1 est un hexagone (6 côtés). - Le Dessin n°2 est un octogone (8 côtés, soit une rotation de $45^{\circ}$). - Le Dessin n°3 est un carré (4 côtés, soit une rotation de $90^{\circ}$). La réponse correcte est donc le Dessin n°1.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Construction du Triangle Équilatéral

Ici, on nous présente un triangle équilatéral et un script à compléter. Le triangle possède 3 côtés égaux. La boucle doit donc être répéter 3 fois. Le point le plus délicat pour les élèves de 3ème est souvent la valeur de l'angle de rotation.

Attention : l'angle intérieur d'un triangle équilatéral est de $60^{\circ}$, mais le lutin Scratch, lui, effectue une rotation extérieure. Imaginez le lutin avançant sur un segment ; pour se diriger vers le côté suivant, il ne tourne pas de l'angle intérieur, mais de son supplément. Le calcul est simple : $360 / 3 = 120$. Il faut donc compléter par tourner de 120 degrés. Utiliser $60^{\circ}$ produirait un hexagone incomplet et non un triangle.

Analyse Méthodique de la Question 3 : Variables et Spirale Polygonale

La troisième question introduit la notion de variable avec l'identifiant longueur. La figure produite est une spirale hexagonale : le lutin tourne toujours du même angle ($60^{\circ}$ pour l'hexagone), mais la distance parcourue augmente à chaque étape. C'est ce qu'on appelle une incrémentation.

Pour ordonner les instructions (numéros 1 à 7), suivons la logique d'exécution : 1. Initialisation de l'événement : Tout script Scratch commence par le bloc Quand le drapeau vert est cliqué (n°3). 2. Préparation du tracé : On place le stylo en position d'écriture (n°6). 3. Initialisation de la variable : Il faut définir la valeur de départ de la longueur avant d'entrer dans la boucle. On utilise mettre longueur à 10 (n°7). 4. La Structure de contrôle : On lance la boucle de répétition répéter 18 fois (n°1). 5. Le Corps de la boucle : À l'intérieur, on fait avancer le lutin de la valeur actuelle de la variable (n°4), puis on le fait pivoter de $60^{\circ}$ (n°2) pour créer la structure hexagonale. 6. Mise à jour de la variable : Enfin, on augmente la longueur pour que le segment suivant soit plus grand (n°5 : ajouter 10 à longueur).

L'ordre final est donc : 3, 6, 7, 1, 4, 2, 5.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le piège majeur dans ce type d'exercice de programmation géométrique réside dans la confusion entre l'angle de la figure (angle géométrique interne) et l'angle de rotation du lutin (angle externe). Pour ne jamais se tromper, retenez la formule : $Angle\ de\ rotation = 360 / Nombre\ de\ cotés$.

Un autre point de vigilance est l'emplacement du bloc d'incrémentation (le bloc ajouter ... à longueur). S'il est placé avant l'instruction avancer, la première ligne tracée fera 20 pas au lieu de 10. S'il est placé en dehors de la boucle, la longueur restera constante et le lutin repassera indéfiniment sur le même hexagone.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points lors de l'épreuve du Brevet, ne vous contentez pas de donner les numéros ou les valeurs. Justifiez brièvement vos choix. Par exemple : "J'ai choisi une rotation de $120^{\circ}$ car pour un triangle (3 côtés), le lutin doit effectuer une rotation de $360/3$." Ou encore : "La variable 'longueur' doit être augmentée à l'intérieur de la boucle pour que chaque nouveau segment soit plus long que le précédent, créant ainsi l'effet de spirale." Une explication claire prouve au correcteur que vous maîtrisez la logique algorithmique et non que vous avez deviné au hasard.