Introduction aux notions de Calcul Littéral et Équations

Le calcul littéral est une pierre angulaire du programme de mathématiques de troisième (3ème) et constitue une part substantielle de l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB). Dans cet exercice issu de la session 2019 en Amérique du Sud, nous abordons des compétences fondamentales : l'évaluation d'une expression pour une valeur donnée, le développement d'expressions algébriques et la résolution d'équations. Ces concepts ne sont pas seulement théoriques ; ils permettent de modéliser des situations réelles et de simplifier des problèmes complexes. Maîtriser le passage d'une forme factorisée à une forme développée, ainsi que l'isolement d'une inconnue $x$, est essentiel pour tout élève visant une mention. Cet exercice est exemplaire car il montre comment une expression apparemment complexe peut se simplifier pour aboutir à une équation du premier degré, accessible si l'on respecte les règles de priorité opératoire.

Analyse détaillée de la Question 1 : Évaluation d'une expression

La première question nous demande de calculer $5x^2 - 3(2x+1)$ pour $x = 4$. C'est une tâche de substitution. Le raisonnement pédagogique ici repose sur la hiérarchie des opérations. L'élève doit comprendre que $x^2$ signifie que le carré s'applique uniquement à $x$. Ainsi, pour $x=4$, on calcule $4^2 = 16$. L'expression devient $5 \times 16 - 3(2 \times 4 + 1)$. À l'intérieur de la parenthèse, la multiplication prime : $2 \times 4 = 8$, puis $8 + 1 = 9$. Enfin, on effectue les multiplications restantes : $5 \times 16 = 80$ et $3 \times 9 = 27$. La soustraction finale donne $80 - 27 = 53$. L'erreur classique consiste à multiplier 5 par 4 avant de mettre au carré, ou à oublier de distribuer le 3 sur l'ensemble de la parenthèse. La rigueur dans l'écriture des étapes est la clé pour ne pas perdre de points sur cette question de mise en jambe.

Analyse détaillée de la Question 2 : Développement et Réduction

La deuxième question demande de démontrer que $5x^2 - 3(2x + 1) = 5x^2 - 6x - 3$. C'est un exercice de développement utilisant la distributivité simple. Le terme $5x^2$ reste inchangé car il n'est pas concerné par la parenthèse. L'attention doit se porter sur le bloc $-3(2x + 1)$. Un point de vigilance crucial est le signe moins devant le 3. En distribuant $-3$ sur chaque terme de la parenthèse, on obtient : $-3 \times 2x = -6x$ et $-3 \times 1 = -3$. En regroupant, on retrouve bien l'expression $5x^2 - 6x - 3$. Cette question sert souvent de vérification pour la suite de l'exercice. Si l'élève ne parvient pas à ce résultat, il doit impérativement revoir ses règles de gestion des signes. En mathématiques au brevet, démontrer un résultat déjà donné est une opportunité de valider son propre raisonnement et de gagner en confiance pour la suite de l'épreuve.

Analyse détaillée de la Question 3 : Résolution d'équations avec termes au carré

La question finale demande de trouver $x$ tel que $5x^2 - 3(2x+1) = 5x^2 - 4x + 1$. À première vue, la présence de $x^2$ pourrait effrayer l'élève en suggérant une équation du second degré. Cependant, grâce à la question précédente, nous savons que le membre de gauche est égal à $5x^2 - 6x - 3$. L'équation devient donc : $5x^2 - 6x - 3 = 5x^2 - 4x + 1$. L'astuce pédagogique réside dans la simplification immédiate : en soustrayant $5x^2$ des deux côtés, ces termes s'annulent. Il ne reste qu'une équation linéaire : $-6x - 3 = -4x + 1$. Pour résoudre, on regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre. En ajoutant $6x$ à chaque membre, on obtient $-3 = 2x + 1$. En soustrayant 1, on arrive à $-4 = 2x$, soit $x = -2$. Ce type de structure est très fréquent au brevet pour tester la capacité de l'élève à simplifier un problème avant de le résoudre.

Les pièges classiques à éviter au Brevet

Plusieurs erreurs récurrentes peuvent coûter cher. Premièrement, la confusion entre $-3(2x+1)$ et $-(3(2x+1))$ mène souvent à des erreurs de signes. Rappelez-vous : le signe qui précède un nombre lui appartient. Deuxièmement, lors de la résolution d'équation, l'oubli de changer le signe d'un terme quand on le déplace de l'autre côté de l'égalité est la cause de 50% des échecs. Troisièmement, dans la question 1, beaucoup d'élèves calculent $(5x)^2$ au lieu de $5(x^2)$. La puissance est prioritaire sur la multiplication. Enfin, assurez-vous de toujours vérifier votre solution à la fin. Si vous remplacez $x$ par $-2$ dans l'équation d'origine et que les deux côtés ne sont pas égaux, c'est qu'une erreur de calcul s'est glissée dans votre développement.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Le correcteur n'évalue pas seulement le résultat final, mais surtout votre démarche. Pour la question 1, écrivez chaque ligne de calcul. Pour la question 2, mentionnez que vous utilisez la distributivité. Pour la question 3, montrez clairement l'étape où vous supprimez les $5x^2$. Une copie propre, où les égalités sont alignées et où le résultat final est encadré, facilite le travail du correcteur et garantit l'obtention de la totalité des points de la compétence 'Communiquer'. Utilisez des connecteurs logiques comme 'On sait que', 'Or', 'Donc' pour structurer votre pensée. Une réponse bien rédigée montre que vous maîtrisez non seulement les chiffres, mais aussi la logique mathématique nécessaire pour le lycée.