Introduction aux notions clés du Brevet

L'exercice 5 du sujet de Mathématiques du Brevet 2019 (Métropole) est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mobilise quatre piliers majeurs du programme : les programmes de calcul, le calcul littéral (développement et réduction), l'usage du tableur et la résolution d'équations. L'enjeu ici n'est pas seulement de calculer, mais de prouver une conjecture par le passage à l'abstraction algébrique. Comprendre comment transformer une suite d'instructions en une expression de type $f(x) = x^2 + x$ est une compétence fondamentale pour le lycée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Appropriation du programme de calcul

La première étape consiste à tester le programme avec des valeurs numériques. C'est une phase d'échauffement cruciale pour comprendre la structure de l'algorithme. Pour le nombre 4 :
• Étape 2 : $4 + 6 = 10$
• Étape 3 : $4 - 5 = -1$
• Étape 4 : $10 \times (-1) = -10$
• Étape 5 : $-10 + 30 = 20$.
Pour le nombre $-3$, la vigilance sur les signes est de mise :
• Étape 2 : $-3 + 6 = 3$
• Étape 3 : $-3 - 5 = -8$
• Étape 4 : $3 \times (-8) = -24$
• Étape 5 : $-24 + 30 = 6$.
L'erreur classique ici serait de négliger la règle des signes lors de la multiplication à l'étape 4.

2. L'interface avec le tableur

Le tableur est un outil de vérification de conjectures. La question porte sur la cellule B4. Le tableur exécute l'étape 4, qui demande de multiplier les résultats des étapes 2 et 3. Ces résultats se trouvent respectivement dans les cellules B2 et B3. La formule doit donc être : =B2*B3. Il est impératif de commencer par le signe '=' pour que le logiciel reconnaisse une opération. La puissance du tableur réside dans la recopie vers la droite, permettant de traiter des dizaines de nombres instantanément.

3. La démonstration algébrique (Le cœur du sujet)

C'est ici que l'élève doit passer du particulier au général. Soit $x$ le nombre de départ :
• Étape 2 donne $x + 6$.
• Étape 3 donne $x - 5$.
• Étape 4 (produit) : $(x + 6)(x - 5)$.
• Étape 5 (résultat final) : $(x + 6)(x - 5) + 30$.
Pour démontrer l'affirmation de Zoé ($x^2 + x$), il faut développer l'expression à l'aide de la double distributivité :
$(x + 6)(x - 5) = x \times x + x \times (-5) + 6 \times x + 6 \times (-5)$
$= x^2 - 5x + 6x - 30$
$= x^2 + x - 30$.
En ajoutant 30 (étape 5), on obtient : $x^2 + x - 30 + 30 = x^2 + x$. La conjecture est démontrée pour tout nombre $x$.

4. Résolution d'équations

On cherche $x$ tel que $x^2 + x = 0$. Il s'agit d'une équation du second degré, mais au niveau 3ème, elle se résout par la factorisation. On remarque que $x$ est un facteur commun : $x(x + 1) = 0$.
D'après la propriété du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On a donc deux solutions : $x = 0$ ou $x + 1 = 0$ (soit $x = -1$).

Les Pièges à Éviter

1. La gestion des parenthèses : Lors du passage au calcul littéral à l'étape 4, oublier les parenthèses autour de $(x+6)$ et $(x-5)$ rend le développement impossible.
2. Les signes relatifs : Dans l'étape 3, retrancher 5 à $-3$ donne bien $-8$. Une erreur fréquente est de trouver $+2$.
3. Syntaxe Tableur : Ne pas confondre la cellule (B1) avec sa valeur. La formule utilise toujours les coordonnées des cellules.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points :
• Présentez vos calculs par étapes claires comme dans l'énoncé.
• Pour la démonstration, écrivez explicitement : "Soit $x$ le nombre choisi au départ".
• Pour l'équation-produit, citez la propriété : "Si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul". Cela montre au correcteur que vous maîtrisez le théorème sous-jacent et pas seulement la technique de calcul. Utilisez une police lisible et encadrez vos résultats finaux.