Introduction aux probabilités et à la gestion de données au Brevet

L'exercice 4 du sujet Brevet 2019 (Zone Étrangers) est un classique incontournable pour tout élève de troisième. Il combine deux compétences majeures du programme de mathématiques : la lecture et la complétion d'un tableau à double entrée ainsi que le calcul de probabilités simples. Dans cet exercice, nous explorons la répartition de 45 modèles de chaussures selon leur usage (ville ou sport) et leur couleur (noir, blanc, marron). Maîtriser ce type d'exercice est crucial, car il permet de gagner des points facilement grâce à une méthodologie rigoureuse. L'objectif ici est de transformer des données brutes en informations exploitables pour effectuer des prévisions aléatoires.

Analyse Méthodique : La complétion du tableau (Question 1)

La première étape consiste à remplir le tableau à double entrée. C'est un exercice de logique pure basé sur des additions et des soustractions. Pour réussir, il faut comprendre que la somme des éléments d'une ligne doit être égale au total situé en fin de ligne, et de même pour les colonnes.

Analysons les données fournies pour le magasin A :
1. Ligne 'Noir' : Nous savons qu'il y a 5 modèles pour le sport et un total de 20. Le nombre de modèles pour la ville est donc $20 - 5 = 15$.
2. Colonne 'Pour la ville' : Le total est de 27. Nous avons déjà 15 (noir) et 7 (blanc). Pour trouver le nombre de modèles marron pour la ville, on calcule $27 - (15 + 7) = 5$.
3. Ligne 'Marron' : On vient de trouver 5 modèles pour la ville et l'énoncé donne 3 pour le sport. Le total est donc $5 + 3 = 8$.
4. Ligne 'Blanc' : Le total général est de 45. La somme des totaux par couleur doit faire 45. On a Noir (20) et Marron (8), donc Blanc = $45 - (20 + 8) = 17$. Comme il y en a 7 pour la ville, il y en a $17 - 7 = 10$ pour le sport.
5. Colonne 'Pour le sport' : On additionne $5 + 10 + 3 = 18$.
Vérification finale : $27 (ville) + 18 (sport) = 45$. Le tableau est cohérent.

Calcul des Probabilités (Question 2)

En probabilité, la formule fondamentale est : $P(E) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$. Ici, le nombre d'issues totales est le nombre total de modèles dans la vitrine, soit $45$.

a) Choisir un modèle noir :
Le tableau nous indique qu'il y a 20 modèles noirs au total. La probabilité est donc $P = \frac{20}{45}$. En simplifiant par 5, on obtient $P = \frac{4}{9}$.

b) Choisir un modèle pour le sport :
Le total de la colonne 'Sport' est 18. La probabilité est donc $P = \frac{18}{45}$. On peut simplifier par 9, ce qui donne $P = \frac{2}{5}$, soit 0,4 (ou 40%).

c) Choisir un modèle 'Ville' et 'Marron' :
Attention, ici on cherche l'intersection de deux critères. Dans le tableau, la case correspondant à la fois à 'Ville' et à 'Marron' contient la valeur 5. La probabilité est donc $P = \frac{5}{45}$, ce qui se simplifie en $P = \frac{1}{9}$.

Comparaison de deux vitrines (Question 3)

La question nous demande de comparer la chance de tirer une chaussure noire entre le magasin A et le magasin B. C'est une question de comparaison de proportions.

Pour le Magasin A, la probabilité est de $P_A = \frac{20}{45} \approx 0,444$.
Pour le Magasin B, l'énoncé indique 30 modèles noirs sur un total de 54. La probabilité est donc $P_B = \frac{30}{54}$.
Simplifions $P_B$ : en divisant par 6, on obtient $P_B = \frac{5}{9}$.
Comparons les deux fractions : $P_A = \frac{4}{9}$ et $P_B = \frac{5}{9}$.
Puisque $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$, on a plus de chances d'obtenir un modèle noir dans le magasin B.

Les Pièges à éviter

1. Confusion entre effectif et probabilité : Ne répondez jamais par un nombre entier (ex: 20) quand on vous demande une probabilité. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
2. Erreur de lecture de consigne : En question 2c, ne prenez pas le total des marrons (8), mais bien l'intersection ville/marron (5).
3. Oubli de la justification : En mathématiques, "Magasin B" sans calcul ne rapporte aucun point. Il faut impérativement présenter les deux fractions ou les valeurs décimales pour prouver votre résultat.

Conseil de Rédaction pour le DNB

Pour maximiser vos points, commencez toujours par une phrase d'introduction citant la formule utilisée : "Il y a équiprobabilité, donc la probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles." Présentez vos résultats sous forme de fractions simplifiées, car c'est la forme la plus exacte appréciée par les correcteurs. Si vous utilisez des nombres décimaux, utilisez le symbole $\approx$ pour les valeurs approchées.