Introduction aux Transformations et à la Géométrie du Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet 2019 (Métropole) est un cas d'école pour tester les compétences des élèves de 3ème sur deux piliers du programme : les transformations géométriques (translation, rotation, homothétie) et la gestion des aires et des ratios. L'énoncé présente un tableau composé de quatre rectangles identiques insérés dans un grand rectangle $ABCD$. La difficulté réside dans l'articulation entre la visualisation spatiale et le calcul algébrique lié aux agrandissements-réductions.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Maîtriser les Transformations

La première partie demande de compléter des phrases sans justification. C'est un test de reconnaissance directe.
a) La Translation : Une translation correspond à un glissement d'une figure sans déformation ni rotation. Ici, le mouvement de $C$ vers $E$ est un déplacement vertical vers le haut. En observant le pavage, on voit que le rectangle 3 est le résultat du glissement du rectangle 4 vers le haut. On dira donc : 'Le rectangle 3 est l'image du rectangle 4 par la translation qui transforme C en E'.
b) La Rotation : La rotation implique un pivotement autour d'un point fixe (le centre). On nous précise un angle de $90$ degrés dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire). Le rectangle 1 est disposé verticalement, tandis que le rectangle 3 est horizontal. Le pivotement autour du point $F$ permet de passer de l'un à l'autre. Ainsi, 'Le rectangle 3 est l'image du rectangle 1 par la rotation de centre F et d'angle 90°'.
c) L'Homothétie : C'est la transformation la plus complexe car elle gère l'agrandissement ou la réduction. Un rapport de $3$ signifie que toutes les longueurs sont multipliées par $3$. Puisque le grand rectangle $ABCD$ est l'image d'un petit rectangle, et que le rapport est de $3$, cela confirme que le grand rectangle est 3 fois plus long et 3 fois plus large qu'un petit. Le centre de cette homothétie dépend du point fixe choisi pour l'agrandissement (par exemple, le point $D$ si l'on considère le rectangle 2).

Analyse de la Question 2 : Calcul d'Aire et Rapport d'Agrandissement

Cette question demande de calculer l'aire d'un petit rectangle sachant que l'aire totale de $ABCD$ est de $1,215$ m².
L'erreur classique serait de diviser $1,215$ par $4$, pensant que les quatre rectangles occupent tout l'espace. Or, l'énoncé précise que le rectangle $ABCD$ est l'image d'un petit rectangle par une homothétie de rapport $k = 3$.
Propriété fondamentale : Si les longueurs sont multipliées par un coefficient $k$, alors les aires sont multipliées par $k^2$.
Ici, $k = 3$, donc l'aire est multipliée par $3^2 = 9$.
Pour trouver l'aire d'un petit rectangle, on effectue le calcul suivant :
$$\text{Aire}_{\text{petit}} = \frac{\text{Aire}_{ABCD}}{k^2} = \frac{1,215}{9} = 0,135\text{ m}^2.$$

Analyse de la Question 3 : Dimensions et Ratios

On cherche la longueur $L$ et la largeur $l$ du rectangle $ABCD$. On sait deux choses :
1. L'aire est de $1,215$ m², donc $L \times l = 1,215$.
2. Le ratio longueur:largeur est de $3:2$. Cela signifie que $\frac{L}{l} = \frac{3}{2}$, soit $L = 1,5l$.
En remplaçant $L$ dans la première équation, on obtient :
$1,5l \times l = 1,215$
$1,5l^2 = 1,215$
$l^2 = \frac{1,215}{1,5} = 0,81$.
En prenant la racine carrée (puisqu'une longueur est positive), on trouve $l = \sqrt{0,81} = 0,9$ m.
On en déduit la longueur : $L = 1,5 \times 0,9 = 1,35$ m.
Vérification : $1,35 \times 0,9 = 1,215$. Le résultat est cohérent.

Les Pièges à Éviter

Le piège majeur de cet exercice est la confusion entre le rapport de longueur ($k$) et le rapport d'aire ($k^2$). Beaucoup d'élèves oublient d'élever le rapport au carré lorsqu'ils manipulent des surfaces. Un autre point de vigilance concerne les unités : assurez-vous de bien noter le résultat en mètres (m) pour les dimensions et en mètres carrés (m²) pour les aires. Enfin, pour les rotations, attention au sens (horaire vs anti-horaire) qui change totalement la figure image.

Conseils de Rédaction

Même si la question 1 ne demande pas de justification, pour les questions 2 et 3, il est impératif de citer la propriété utilisée (notamment celle de l'agrandissement des aires). Présentez vos calculs de manière aérée : une ligne pour la formule littérale, une ligne pour l'application numérique, et une phrase de conclusion soulignée. Cela permet au correcteur de suivre votre raisonnement et de vous attribuer des points d'étape même en cas d'erreur de calcul mineure.