Introduction aux notions clés du Brevet 2019

L'exercice 1 du sujet de Brevet des collèges 2019 (Métropole) est un grand classique qui combine la géométrie plane et le calcul de grandeurs physiques. Ce type de sujet est particulièrement apprécié des correcteurs car il évalue la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma complexe pour les mobiliser dans des démonstrations rigoureuses. Nous allons ici travailler sur trois piliers du programme de 3ème : le Théorème de Pythagore, le Théorème de Thalès (ou sa réciproque/propriétés des parallèles) et la gestion des vitesses moyennes avec conversions de temps.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Calculer une longueur avec Pythagore

La première question nous demande de démontrer que la longueur $BD$ est de $2,5$ km. Pour ce faire, il faut identifier le triangle rectangle approprié. Le texte indique que le triangle $BCD$ est rectangle en $C$. C'est la condition sine qua non pour utiliser le théorème de Pythagore. Sur le schéma, nous avons $BC = 1,5$ km et $CD = 2$ km. Selon l'égalité de Pythagore : $BD^2 = BC^2 + CD^2$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $BD^2 = 1,5^2 + 2^2 = 2,25 + 4 = 6,25$. La racine carrée de $6,25$ est bien $2,5$. Conseil du professeur : N'oubliez jamais de citer le triangle et son sommet de l'angle droit avant d'écrire l'égalité.

2. Démontrer le parallélisme

La question 2 demande de justifier que $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles. Ici, il ne s'agit pas d'utiliser la réciproque de Thalès car nous n'avons pas encore toutes les mesures de longueurs. Il faut utiliser une propriété de 6ème/5ème souvent oubliée : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles'. On observe que $(BC)$ est perpendiculaire à $(CE)$ et que $(EF)$ est également perpendiculaire à $(CE)$ (car les triangles $BCD$ et $DEF$ sont rectangles respectivement en $C$ et $E$, et les points $C, D, E$ sont alignés). Cette propriété est la clé pour débloquer la suite de l'exercice.

3. Utilisation du Théorème de Thalès

Une fois le parallélisme établi, nous pouvons calculer $DF$. Les points $B, D, F$ d'une part et $C, D, E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(EF)$ étant parallèles, nous sommes dans une configuration de Thalès dite 'en papillon' au point $D$. Les rapports de longueurs sont donc égaux : $\frac{DB}{DF} = \frac{DC}{DE} = \frac{BC}{EF}$. Nous connaissons $DC = 2$ km, $DE = 5$ km et $DB = 2,5$ km. En utilisant l'égalité $\frac{2,5}{DF} = \frac{2}{5}$, un simple produit en croix nous donne $DF = \frac{2,5 \times 5}{2} = \frac{12,5}{2} = 6,25$ km.

4. Calcul de la distance totale du parcours

Le parcours total suit le trajet $A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow G$. Il s'agit d'une simple addition de longueurs, mais attention à ne pas se tromper de segments ! La distance totale est $AB + BD + DF + FG$. D'après l'énoncé et nos calculs précédents : $AB = 7$ km, $BD = 2,5$ km, $DF = 6,25$ km et $FG = 3,5$ km. Le total est donc $7 + 2,5 + 6,25 + 3,5 = 19,25$ km. Astuce : Vérifiez toujours la cohérence visuelle de vos résultats sur le schéma, même si celui-ci n'est pas à l'échelle.

5. Vitesse, Distance et Temps : La conversion finale

Michel roule de $A$ vers $B$ ($7$ km) à une vitesse de $16$ km/h. On utilise la formule $t = \frac{d}{v}$. Donc $t = \frac{7}{16} = 0,4375$ heure. Pour convertir cela en minutes, on multiplie par $60$ : $0,4375 \times 60 = 26,25$ minutes. Il reste $0,25$ minute à convertir en secondes : $0,25 \times 60 = 15$ secondes. Michel met donc 26 minutes et 15 secondes. Erreur courante : Évitez d'écrire que $0,25$ minute égale $25$ secondes ! Le temps est en base 60, pas en base 100.

Les Pièges à éviter au Brevet

1. La confusion des théorèmes : On utilise Pythagore pour calculer une longueur dans un triangle rectangle et Thalès pour des rapports de longueurs avec des parallèles. 2. La rédaction incomplète : Chaque utilisation de théorème doit être introduite par ses conditions (triangle rectangle, parallélisme, alignement des points). 3. Les unités : Si l'énoncé mélangeait mètres et kilomètres, il aurait fallu tout convertir dès le départ. Ici, tout est en km, ce qui simplifie la tâche.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour chaque calcul, suivez la structure : 'Je sais que...', 'Or, d'après le théorème de...', 'Donc...'. Les correcteurs du Brevet notent autant la démarche que le résultat final. Même si vous faites une erreur de calcul, une structure de raisonnement correcte vous rapportera la majorité des points. Pour la question sur la vitesse, détaillez bien votre conversion d'heures décimales en minutes et secondes pour montrer que vous maîtrisez le système sexagésimal.