Introduction aux notions de Volumes et Grandeurs Composées

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2019 (Asie) est un cas d'école particulièrement complet. Il mobilise deux piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : le calcul de volumes de solides usuels et la manipulation de grandeurs composées (ici, la masse volumique). Ce type de problème, souvent appelé 'problème de la vie courante', demande à l'élève non seulement des compétences techniques en calcul, mais aussi une grande rigueur dans l'analyse de l'énoncé. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment transformer des dimensions géométriques en une solution logistique concrète.

Analyse Méthodique de l'Énoncé : Comprendre le Cylindre Creux

Pour résoudre cet exercice, il faut d'abord visualiser l'objet : un cylindre de béton qui n'est pas plein. C'est un tube ou un cylindre creux. L'énoncé nous donne deux diamètres : l'intérieur (90 cm) et l'extérieur (101 cm). La première étape cruciale consiste à identifier que le volume de béton utilisé correspond à la différence entre le volume du grand cylindre extérieur et celui du cylindre vide à l'intérieur.

Le raisonnement doit suivre cet ordre logique :
1. Calculer les rayons (attention, on nous donne les diamètres !). Le rayon extérieur $R$ est de $101 / 2 = 50,5$ cm, et le rayon intérieur $r$ est de $90 / 2 = 45$ cm.
2. Calculer l'aire de la base 'en anneau' (la couronne circulaire) ou calculer les deux volumes séparément.
3. Utiliser la formule rappelée dans le sujet : $V = \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$.
4. Appliquer la hauteur de $50$ cm pour obtenir le volume de béton pour un seul cylindre.

La Gestion des Unités : Le Piège des Grandeurs Composées

C'est ici que de nombreux candidats perdent des points. La masse volumique du béton est donnée en $kg/m^3$ ($2400$ kg/m$^3$), alors que les dimensions du cylindre sont en centimètres (cm). Il y a deux stratégies possibles :
- Convertir toutes les dimensions en mètres dès le début (0,505 m, 0,45 m, 0,50 m).
- Faire tout le calcul en cm, obtenir des $cm^3$, puis convertir en $m^3$.
Attention : n'oubliez pas que $1 m^3 = 1 000 000 cm^3$. Une erreur d'un facteur 1000 est fatale dans ce type d'exercice. Une fois le volume en $m^3$ obtenu, on utilise la relation de la grandeur composée : $Masse = Volume \times Masse \text{ } Volumique$.

Résolution de la Problématique de Transport

Une fois la masse d'un cylindre connue, il faut répondre à la question finale : combien d'allers-retours pour 5 cylindres avec une limite de $500$ kg par voyage ?
1. Calculez la masse totale des 5 cylindres ($Masse_{unitaire} \times 5$).
2. Divisez cette masse totale par la capacité maximale de la remorque ($500$ kg).
3. Analysez le résultat : si vous obtenez 2,1 voyages, la réponse est 3 allers-retours. On ne peut pas faire une fraction de voyage pour rapporter le béton restant. C'est ce qu'on appelle un arrondi à l'excès dicté par le bon sens physique.

Les Pièges Classiques à Éviter

1. **Confondre rayon et diamètre** : L'erreur la plus fréquente. Divisez toujours par 2 avant d'appliquer la formule du volume.
2. **Négliger les unités** : Multiplier des cm par des $kg/m^3$ est une erreur de dimensionnalité. Soyez cohérent.
3. **Oublier le nombre de cylindres** : L'énoncé précise qu'il en faut 5. Ne faites pas votre calcul final sur un seul bloc !
4. **L'arrondi prématuré** : Gardez la valeur exacte avec $\pi$ ou plusieurs décimales jusqu'à la fin pour éviter les erreurs de précision cumulées.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre copie :
- Titrez vos étapes (ex: 'Calcul du volume de béton pour un cylindre').
- Citez les formules utilisées.
- Explicitez vos conversions (ex: 'Je convertis le volume en $m^3$ pour utiliser la masse volumique').
- Faites une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée (le nombre d'allers-retours).