Introduction aux notions clés du Brevet 2021

Cet exercice, issu de la session 2021 pour les centres étrangers, est un modèle de transversalité. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : le théorème de Thalès, l'étude des grandeurs composées (vitesse moyenne) et une initiation à la trigonométrie à travers la notion de pente. L'énoncé place l'élève dans une situation concrète : l'ascension à vélo du col de Hardknott en Angleterre. L'objectif est de traduire une situation géographique en un modèle géométrique exploitable.

Analyse détaillée de l'exercice 4 : Géométrie et Dénivelé

La première question demande de justifier le dénivelé. En mathématiques, le dénivelé correspond à la différence d'altitude entre deux points. Ici, l'altitude de départ au point A est de $251$ m et l'arrivée au sommet E est à $393$ m. Le calcul est simple mais rigoureux : $393 - 251 = 142$ m. La hauteur $EC$ représente donc bien ce dénivelé.

Démonstration du parallélisme et utilisation de Thalès

La question 2.a est une question de cours classique : comment prouver que deux droites sont parallèles ? L'énoncé précise que $(AB)$ est perpendiculaire à $(DB)$ et que $(AC)$ est perpendiculaire à $(CE)$. Or, les points $A, B, C$ étant alignés, les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(AC)$. Propriété fondamentale : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. C'est le prérequis indispensable pour utiliser le théorème de Thalès dans la question suivante.

Pour la question 2.b, nous sommes dans une configuration de Thalès avec les triangles $ABD$ et $ACE$ car les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont parallèles et les points $A, D, E$ d'une part, et $A, B, C$ d'autre part, sont alignés. Le rapport de proportionnalité s'écrit : $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC}$. Nous connaissons $AD = 51,25$ m, $DB = 11,25$ m et $EC = 142$ m. Nous cherchons $AE$ pour en déduire $DE$. En utilisant l'égalité $\frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC}$, on obtient $AE = \frac{AD \times EC}{DB} = \frac{51,25 \times 142}{11,25} \approx 646,88$ m. La distance restant à parcourir $DE$ est $AE - AD = 646,88 - 51,25 = 595,63$ m, soit environ $596$ m.

Maîtrise des grandeurs composées : Calcul du temps de parcours

La question 3 aborde les grandeurs composées. Aurélie roule à une vitesse moyenne $v = 8$ km/h. La distance $d$ est de $596$ m, soit $0,596$ km. La formule de la vitesse est $v = \frac{d}{t}$, d'où $t = \frac{d}{v}$. Le temps $t$ est donc de $\frac{0,596}{8} = 0,0745$ heures. Pour convertir ce résultat en minutes, on multiplie par $60$ : $0,0745 \times 60 = 4,47$ minutes. En arrondissant à la minute supérieure pour être réaliste, ou en suivant la consigne d'arrondi classique, on obtient environ $4$ minutes. Si elle part à $9$ h $55$, elle arrivera donc au point E à environ $9$ h $59$.

Comprendre la notion de pente (Trigonométrie appliquée)

La pente est définie comme le rapport : $\text{dénivelé} / \text{longueur horizontale}$. Dans le triangle $ADB$, la pente est égale à $\frac{DB}{AB}$. Nous devons d'abord calculer $AB$. Le triangle $ADB$ étant rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : $AD^2 = AB^2 + DB^2$. Donc $AB^2 = 51,25^2 - 11,25^2 = 2626,5625 - 126,5625 = 2500$. Ainsi, $AB = \sqrt{2500} = 50$ m. La pente est donc $\frac{11,25}{50} = 0,225$. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie par $100$, ce qui donne $22,5\%$. Notez que cette valeur correspond également à la tangente de l'angle $\widehat{DAB}$ dans le triangle rectangle.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Le principal piège de cet exercice réside dans les unités. La vitesse est donnée en km/h alors que les distances sont en mètres. Il est impératif de convertir soit la distance en kilomètres ($596$ m = $0,596$ km), soit la vitesse en m/min pour éviter des erreurs d'ordre de grandeur. Un autre piège concerne la définition de la pente : attention à ne pas diviser par l'hypoténuse ($AD$), mais bien par la longueur horizontale ($AB$). Pour la rédaction, n'oubliez jamais de citer les théorèmes utilisés (Thalès, Pythagore) et de vérifier que les conditions d'application (parallélisme, triangle rectangle) sont explicitement mentionnées.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est essentiel

Cet exercice du Brevet 2021 est complet car il force l'élève à jongler entre la géométrie pure et le calcul numérique. La notion de pente est souvent redoutée, mais elle n'est qu'une application directe des rapports de proportionnalité dans le triangle rectangle. En maîtrisant ce sujet, vous vous assurez une base solide pour l'épreuve de mathématiques.