Introduction aux probabilités et fractions au Brevet
Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie de 2021, est un modèle du genre car il combine la lecture de données en tableau, le dénombrement et la manipulation de fractions. L'objectif est de quantifier l'aléa à travers une situation concrète : un jeu de cartes thématisé par des fruits. Maîtriser ce chapitre, c'est s'assurer des points précieux le jour de l'examen en démontrant une rigueur logique irréprochable.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice commence par une phase de dénombrement. La première question demande de vérifier que le jeu comporte 56 cartes. Pour cela, il faut analyser le tableau fourni pour une seule famille (la banane). Le tableau nous indique que pour la famille banane, nous avons des cartes portant les nombres 1, 2, 3, 4 et 5. Le nombre de cartes total pour cette famille est la somme des effectifs : $5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14$. Puisqu'il existe quatre familles identiques (banane, prune, citron, fraise), le calcul final est $14 \times 4 = 56$. Cette étape est cruciale car elle définit l'univers (noté $\Omega$) de notre expérience aléatoire.
La deuxième question introduit la notion de probabilité simple. On tire une carte au hasard. L'événement $P$ est "Jack obtient une carte de la famille prune". Comme chaque famille est représentée équitablement, il y a 14 cartes "prune" sur un total de 56. La probabilité est donc $P(P) = \frac{14}{56}$. En simplifiant cette fraction par 14, on obtient $P(P) = \frac{1}{4}$ (ou 0,25). Cela signifie que Jack a une chance sur quatre de tirer une prune, ce qui est logique puisqu'il y a quatre familles équiprobables.
La troisième question porte sur l'événement contraire, noté $\bar{P}$ ou l'événement "ne pas obtenir une carte prune". En probabilité, la somme d'un événement et de son contraire est toujours égale à 1. L'événement contraire se définit par : "Jack obtient une carte de la famille banane, citron ou fraise". Pour calculer sa probabilité, on applique la formule $P(\bar{P}) = 1 - P(P)$. Soit $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. En format décimal, cela donne 0,75 ou 75% de chances.
Enfin, la quatrième question demande la probabilité d'obtenir une carte avec "quatre fruits". Attention ici à la lecture du tableau ! Le tableau n'indique pas le nom du fruit mais le "nombre de bananes" (ou de prunes, etc.) par carte. Il faut donc chercher les cartes portant le chiffre 4. Dans une famille, il y a 2 cartes portant le chiffre 4. Comme il y a 4 familles, il y a au total $2 \times 4 = 8$ cartes portant le chiffre 4 dans tout le jeu. La probabilité est donc $\frac{8}{56}$. En simplifiant par 8, on trouve $\frac{1}{7}$.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal réside dans la confusion entre les lignes du tableau. La première ligne correspond aux valeurs (les points sur la carte) et la deuxième aux effectifs (le nombre de cartes). Ne confondez pas la probabilité de tirer une carte "4" avec la probabilité de tirer une carte d'une famille spécifique. Un autre point de vigilance est l'oubli du multiplicateur 4. Le tableau ne représente qu'une seule famille, il ne faut jamais oublier de multiplier par le nombre total de familles pour obtenir l'univers complet du jeu. Enfin, n'oubliez jamais de simplifier vos fractions au maximum pour satisfaire les attentes des correcteurs.
Conseils de Rédaction
Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en citant les données du texte. Utilisez des phrases de liaison telles que : "D'après le tableau...", "On sait qu'il y a 4 familles identiques donc...". Nommez précisément vos événements. Si vous calculez une probabilité, rappelez la formule de base : $P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas totaux}}$. Présentez vos résultats sous forme de fraction simplifiée, et éventuellement sous forme décimale si cela est demandé. Une rédaction claire et aérée est la clé pour valoriser votre raisonnement mathématique auprès du jury.