Introduction aux notions de l'exercice

L'exercice 3 du sujet du Brevet 2021 pour les centres étrangers est un classique incontournable qui mêle habilement l'algorithmique (via le logiciel Scratch) et le calcul littéral. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'un langage de programmation visuel à une expression mathématique rigoureuse. Nous allons explorer trois programmes de calcul différents : deux sous forme de blocs Scratch (Programmes A et B) et un sous forme textuelle (Programme C). Les thématiques abordées sont cruciales pour le diplôme national du brevet : la gestion des variables, la distributivité, la réduction d'expressions et la résolution d'équations-produits nuls.

Analyse détaillée du Programme A : La logique Scratch

Le Programme A utilise des blocs 'mettre à' pour modifier des variables. Pour comprendre le fonctionnement, suivons le cheminement d'un nombre choisi $x$. La première étape est l'entrée utilisateur via le bloc 'demander'. Ensuite, on définit la 'Valeur 1' comme étant $1 + x$. L'étape suivante multiplie cette somme par 3, donnant $3(1 + x)$. Enfin, le résultat soustrait 3 à ce produit. Mathématiquement, cela s'écrit : $3(x + 1) - 3$. Si l'on développe cette expression, on obtient $3x + 3 - 3$, ce qui se simplifie en $3x$. C'est une observation clé pour la suite de l'exercice, notamment pour la question 3. Pour la question 1.a, avec le nombre 1 au départ, le calcul devient : $1 + 1 = 2$, puis $3 \times 2 = 6$, et enfin $6 - 3 = 3$. Le programme affiche bien 3.

Décryptage du Programme B : Vers l'équation-produit

Le Programme B structure le calcul différemment. Il crée deux entités distinctes, 'Valeur 1' et 'Valeur 2', avant de les multiplier. Pour un nombre de départ $x$, 'Valeur 1' est $x + 3$ et 'Valeur 2' est $x - 5$. Le résultat final affiché est donc le produit $(x + 3)(x - 5)$. Dans la question 1.b, si l'on choisit 2 : 'Valeur 1' devient $2 + 3 = 5$, 'Valeur 2' devient $2 - 5 = -3$. Le produit $5 \times (-3)$ donne $-15$. Cette structure est typique des exercices sur les équations-produits nuls que l'on retrouvera en fin d'exercice. Il est essentiel de bien identifier que chaque variable stocke une étape intermédiaire du calcul.

Modélisation du Programme C et Comparaison

Le Programme C est présenté de manière textuelle, ce qui demande une traduction directe en expression littérale. Choisir $x$, multiplier par 7 donne $7x$, ajouter 3 donne $7x + 3$, et soustraire le nombre de départ donne $7x + 3 - x$. En réduisant cette expression, on obtient $6x + 3$. À ce stade, nous avons trois expressions simplifiées : A = $3x$, B = $(x + 3)(x - 5)$ et C = $6x + 3$. Pour la question 3, l'élève qui affirme qu'un programme donne toujours le triple du nombre choisi a raison pour le Programme A, car $3x$ est par définition le triple de $x$. Ce type de question nécessite une démonstration par le calcul littéral et non juste des exemples numériques.

Résolution d'équations et interprétation

La question 4 introduit une équation-produit nul : $(x + 3)(x - 5) = 0$. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc $x + 3 = 0$ (soit $x = -3$) et $x - 5 = 0$ (soit $x = 5$). Ces deux valeurs sont les antécédents de 0 par le Programme B. Enfin, pour comparer les programmes A et C, nous devons résoudre l'équation $3x = 6x + 3$. En isolant les $x$, on obtient $3x - 6x = 3$, soit $-3x = 3$, d'où $x = -1$. Cela signifie que pour le nombre de départ -1, les programmes A et C affichent le même résultat.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le piège principal réside dans la lecture des blocs Scratch. Beaucoup d'élèves oublient que les variables sont mises à jour successivement. Attention aussi aux signes négatifs lors du calcul de la valeur -15 dans le programme B ou lors de la résolution de l'équation finale. Un autre point de vigilance est la rédaction : pour la question 5, il ne suffit pas de tester des nombres au hasard, il faut impérativement poser et résoudre l'équation pour trouver toutes les solutions possibles. Enfin, n'oubliez pas que dans Scratch, le bloc 'regrouper' sert uniquement à l'affichage et n'intervient pas dans le calcul mathématique.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points, structurez vos réponses. Pour les questions Scratch, détaillez chaque étape de la variable. Pour le calcul littéral, montrez bien les étapes de développement et de réduction. Lors de la résolution de l'équation-produit, citez la propriété : 'Un produit de facteurs est nul si...'. Cette rigueur montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le résultat, mais surtout la méthode logique sous-jacente. Utilisez des phrases de conclusion claires pour répondre précisément à la question posée (ex: 'L'élève a raison pour le programme A car...').