Introduction aux notions fondamentales du Brevet 2021

L'exercice 1 du Brevet de Mathématiques 2021 en Polynésie est une synthèse exemplaire du programme de 3ème. Ce sujet balaye des compétences variées allant de la géométrie plane aux coordonnées terrestres, en passant par l'arithmétique et le calcul littéral. Pour réussir cette épreuve, il est essentiel de maîtriser la polyvalence. Nous allons décomposer chaque question pour comprendre la logique mathématique attendue par les correcteurs.

Analyse des Transformations Géométriques (Question 1)

La première partie porte sur les transformations du plan. L'élève doit identifier l'image du quadrilatère TRAP selon différents procédés : translation, rotation, symétrie axiale ou centrale. Pour réussir, il faut observer les changements d'orientation et de position.
Le quadrilatère quad1 résulte d'une symétrie axiale d'axe (DE). On observe un effet miroir par rapport à la droite. Le quadrilatère quad2 correspond à une translation qui transforme le point D en E, impliquant un glissement sans déformation ni rotation. Enfin, quad3 est le fruit d'une rotation de centre A. L'astuce ici est de repérer l'angle droit formé par le déplacement du sommet correspondant. La rigueur dans l'observation des sommets homologues est la clé pour ne pas confondre rotation et symétrie centrale.

Maîtrise du Calcul Littéral et de la Double Distributivité (Question 2)

Le calcul littéral est le pilier de l'algèbre au collège. L'expression à développer est $(2x - 3)(- 5 + 2x) - 4 + 6x$. La méthode de la double distributivité s'applique : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
En appliquant cela :
1. $2x \times (-5) = -10x$
2. $2x \times 2x = 4x^2$
3. $-3 \times (-5) = 15$
4. $-3 \times 2x = -6x$.
En regroupant les termes, on obtient $4x^2 - 10x - 6x + 15 - 4 + 6x$. Après réduction, l'expression finale simplifiée est $4x^2 - 10x + 11$. Attention aux erreurs de signes, particulièrement lors de la multiplication de deux nombres négatifs.

Résolution d'Équations-Produits (Question 3)

La question 3 introduit une équation-produit nul : $(x - 6)(5x - 2) = 0$. C'est un grand classique du Brevet. La règle d'or est la suivante : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul.
On sépare donc le problème en deux équations linéaires simples :
- Soit $x - 6 = 0$, ce qui donne $x = 6$.
- Soit $5x - 2 = 0$, ce qui donne $5x = 2$, soit $x = 2/5$ (ou 0,4).
L'équation possède deux solutions distinctes. Il est impératif de rédiger la conclusion en mentionnant explicitement les deux valeurs trouvées pour obtenir l'intégralité des points.

Arithmétique et Décomposition en Facteurs Premiers (Question 4)

L'arithmétique moderne repose sur la décomposition en facteurs premiers. Pour 1386 et 1716, il faut tester les critères de divisibilité habituels (2, 3, 5, 11).
Pour $1386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11$.
Pour $1716 = 2^2 \times 3 \times 11 \times 13$.
Cette décomposition permet de simplifier la fraction $\frac{1386}{1716}$ de manière systématique. En barrant les facteurs communs ($2, 3, 11$), il reste $\frac{3 \times 7}{2 \times 13} = \frac{21}{26}$. La fraction obtenue est alors garantie irréductible car les numérateurs et dénominateurs restants n'ont plus de diviseurs communs.

Repérage sur la Sphère Terrestre (Question 5)

La géographie mathématique demande de comprendre la latitude et la longitude. La ville de Jokkmokk est située à 67° Nord et 19° Est.
1. La latitude (67° Nord) se mesure par rapport à l'Équateur vers le pôle Nord. Elle se situe donc dans la partie supérieure du planisphère.
2. La longitude (19° Est) se mesure par rapport au méridien de Greenwich vers la droite.
Le placement doit être précis : proche du cercle polaire arctique pour la latitude et légèrement à l'est de l'Europe centrale pour la longitude. Ce type de question évalue la capacité de l'élève à transférer ses connaissances géométriques sur un modèle sphérique.

Conseils de Rédaction et Pièges à Éviter

Pour maximiser votre score, soignez la présentation. En arithmétique, l'absence de justification pour la décomposition est ici autorisée, mais restez vigilant si l'énoncé demande de détailler. Dans le calcul littéral, soulignez vos résultats finaux et vérifiez toujours la cohérence des signes. Enfin, pour les transformations, utilisez une règle et un compas mentalement pour vérifier que les distances et les angles sont conservés. L'entraînement régulier sur les annales de Polynésie est une excellente stratégie pour se familiariser avec les sujets transversaux qui mixent plusieurs thématiques dans un seul exercice.