Introduction aux thématiques du Brevet 2021

L'exercice 1 du sujet de Brevet 2021 pour la zone Étrangers est un condensé de polyvalence. Ce type d'exercice, souvent placé en début d'épreuve, teste la capacité de l'élève à passer d'un domaine mathématique à un autre avec agilité. On y retrouve des thèmes fondamentaux : l'arithmétique, les transformations du plan, le calcul fractionnaire, le calcul de volume et enfin la trigonométrie associée aux aires et périmètres. Maîtriser cet exercice, c'est s'assurer une base de points solide en prouvant sa maîtrise du socle commun de mathématiques de 3ème.

Analyse Question 1 : Arithmétique et Facteurs Premiers

La décomposition du nombre $360$ en produit de facteurs premiers est une compétence de base qui intervient souvent dans la simplification de fractions ou la recherche de diviseurs communs. La méthode consiste à diviser successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant : $2, 3, 5, 7, 11...$.
Puisque $360$ se termine par $0$, il est divisible par $2$. On obtient $180$. Divisé encore par $2$, on obtient $90$, puis $45$. $45$ n'est plus pair, on teste la divisibilité par $3$ (la somme $4+5=9$ est dans la table de $3$). $45 / 3 = 15$, et $15 / 3 = 5$. Enfin, $5 / 5 = 1$.
Le résultat final est donc $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$, soit $2^3 \times 3^2 \times 5$. Note pédagogique : N'oubliez jamais d'écrire la forme avec les puissances pour une présentation optimale.

Analyse Question 2 : Géométrie et Transformations du Plan

Cette question porte sur l'analyse d'un pavage complexe composé de triangles rectangles isocèles. C'est un test de perception spatiale.
1. **Symétrie axiale :** L'image du triangle $BEJ$ par la symétrie d'axe $(BD)$ demande de visualiser le pliage le long de la diagonale $(BD)$. On observe que le triangle se reflète parfaitement de l'autre côté de l'axe.
2. **Translation :** Pour trouver l'image de $AMH$ par la translation qui transforme $E$ en $B$, il faut appliquer le vecteur $\vec{EB}$ à chaque sommet du triangle $AMH$. On fait glisser la figure selon cette direction et cette longueur précises.
3. **Identification de transformation :** Le passage de $AIH$ à $AMD$ peut être vu comme une rotation de centre $A$ et d'angle $90$ degrés, ou une homothétie selon le rapport des longueurs. L'élève doit être capable de nommer précisément la transformation sans ambiguïté.

Analyse Question 3 : Calcul Numérique et Priorités Opératoires

Le calcul $\dfrac{7}{2} + \dfrac{15}{6} \times \dfrac{7}{25}$ est un classique des priorités opératoires. La règle d'or (PEMDAS) impose de traiter la multiplication avant l'addition.
Avant de multiplier $\dfrac{15}{6}$ par $\dfrac{7}{25}$, un bon élève simplifie les fractions. $15/25$ peut être réduit par $5$ pour donner $3/5$. De même, $15/6$ peut être simplifié par $3$ pour donner $5/2$. En simplifiant intelligemment, le calcul devient trivial : $\dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{25} = \dfrac{1 \times 7}{2 \times 5} = \dfrac{7}{10}$.
Enfin, l'addition $\dfrac{7}{2} + \dfrac{7}{10}$ nécessite une mise au même dénominateur (ici $10$). On multiplie le haut et le bas de $7/2$ par $5$ pour obtenir $35/10$. Le résultat final est $42/10$, qu'il faut impérativement rendre irréductible en divisant par $2$, soit $21/5$.

Analyse Question 4 : Volume de la Lune et Notation Scientifique

La géométrie dans l'espace est ici abordée via le volume d'une boule. La formule est $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Le piège récurrent est l'utilisation du diamètre ($3474$ km) au lieu du rayon ($1737$ km). En effectuant le calcul $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1737^3$, la calculatrice affiche environ $2,19 \times 10^{10}$. En regardant les choix multiples, la réponse $D$ ($2,2 \times 10^{10}$ km$^3$) est l'arrondi le plus proche. Conseil : Vérifiez toujours l'exposant de la puissance de 10, une erreur de zéro est fatale.

Analyse Question 5 : Trigonométrie et Propriétés du Triangle

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on nous donne les trois côtés : $RS=10$, $ST=24$, $RT=26$. On remarque au passage que $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$, ce qui confirme que le triangle est rectangle (Réciproque de Pythagore).
Pour les angles, on utilise les rapports trigonométriques. Par exemple, pour l'angle $\widehat{SRT}$, $\cos(\widehat{SRT}) = \text{Adjacent} / \text{Hypoténuse} = 10 / 26$. La fonction $\arccos(10/26)$ donne environ $67$ degrés. Pour l'angle $\widehat{STR}$, on peut utiliser la somme des angles d'un triangle ($180 - 90 - 67 = 23$ degrés) ou un autre rapport comme le sinus.
Le périmètre est la somme des côtés : $10+24+26 = 60$ mm. L'aire est $(Base \times Hauteur) / 2 = (10 \times 24) / 2 = 120$ mm$^2$.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Attention aux unités ! Pour le volume de la Lune, le résultat est en km$^3$, tandis que pour le triangle $RST$, nous sommes en mm. Ne mélangez pas les ordres de grandeur. Concernant la rédaction, même si la consigne stipule 'aucune justification n'est demandée' pour certaines questions, gardez vos brouillons propres pour éviter les erreurs d'inattention. Pour la fraction, l'étape de mise au même dénominateur est cruciale. Enfin, pour la trigonométrie, assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode **Degrés** et non en Radians, une erreur classique qui change totalement le résultat des angles.