Introduction aux notions du Brevet 2021
Cet exercice, issu de la session 2021 du Brevet de Mathématiques (Zone Métropole), est un modèle d'interdisciplinarité mathématique. Il combine des compétences de calcul numérique de base, de l'arithmétique pure (décomposition en facteurs premiers) et de la géométrie classique avec le théorème de Thalès. L'objectif pédagogique est double : vérifier la capacité de l'élève à extraire des données d'un texte concret (le Futuroscope) et à appliquer des protocoles de résolution rigoureux.
Analyse méthodologique de la partie numérique
La première partie de l'exercice demande une lecture attentive des grands nombres. Passer de 1,9 million à 2 millions semble simple, mais c'est un test de gestion des unités. L'élève doit poser le calcul : $2\,000\,000 - 1\,900\,000 = 100\,000$. Pour la question sur l'affluence journalière, il s'agit d'une moyenne. En divisant le nombre total de visiteurs par le nombre de jours dans une année (365), soit $1\,900\,000 \div 365 \approx 5205$. L'affirmation est donc vraie. Attention à la précision de la division décimale et à l'arrondi à l'unité.
L'Arithmétique : Groupes et Facteurs Premiers
La question 3 est le cœur de l'arithmétique de classe de 3ème. Le professeur veut répartir $126$ garçons et $90$ filles. La notion de « même nombre dans chaque groupe » implique la recherche de diviseurs communs.
Décomposition en produits de facteurs premiers
Pour $126$ : il est pair ($126 = 2 \times 63$), $63$ est dans la table de $9$ ($9 \times 7$), donc $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Pour $90$ : il finit par zero ($90 = 10 \times 9$), donc $90 = 2 \times 5 \times 3^2$.
Ces décompositions permettent d'identifier les diviseurs communs. La liste exhaustive des diviseurs communs est obtenue en combinant les facteurs présents dans les deux décompositions : $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Le plus grand nombre de groupes possible correspond au PGCD (Plus Grand Commun Diviseur), soit $2 \times 3^2 = 18$.
Configuration de Thalès et calcul de hauteur
La dernière partie utilise une configuration classique de Thalès dite « en triangles emboîtés ». Marie, son ombre et la Gyrotour forment deux triangles rectangles semblables : $ADE$ et $ABC$. Pour appliquer le théorème, il est impératif de démontrer que les droites $(ED)$ et $(BC)$ sont parallèles. Puisque toutes deux sont perpendiculaires au sol $(AC)$, elles sont parallèles entre elles.
Les rapports de proportionnalité sont : $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{ED}{BC}$. L'élève doit être vigilant sur la longueur $AC$. Ce n'est pas $54,25$ m, mais la somme de la distance entre l'origine de l'ombre et Marie, et la distance entre Marie et la tour : $AC = AD + DC = 2 + 54,25 = 56,25$ m. Le calcul devient : $\frac{2}{56,25} = \frac{1,60}{BC}$. Par produit en croix, $BC = \frac{1,60 \times 56,25}{2} = 45$ mètres.
Les pièges à éviter lors de l'examen
Le premier piège est l'unité de mesure. Mélanger des millions et des unités simples conduit à des erreurs d'échelle massives. Le deuxième piège réside dans le calcul de la longueur totale de l'ombre au sol dans la partie géométrie. Beaucoup d'élèves utilisent $54,25$ au lieu de $56,25$. Enfin, en arithmétique, n'oubliez pas que $1$ est toujours un diviseur, même s'il n'est pas premier.
Conseils de rédaction pour maximiser les points
Pour le Brevet, la rédaction est presque aussi importante que le résultat. Pour l'arithmétique, listez clairement les étapes de décomposition. Pour Thalès, citez toujours les conditions d'application : 1. Les points alignés. 2. Les droites parallèles (justifiez-les par la perpendiculaire commune). 3. L'énoncé explicite du nom du théorème. Sans ces mentions, le correcteur ne peut pas attribuer l'intégralité des points de compétence « Raisonner » et « Communiquer ».