Introduction aux notions clés : Fonctions et Lecture Graphique

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2021 (Zone Amérique du Sud) est un modèle du genre pour tester ta compréhension des fonctions et de la lecture graphique. Dans un contexte concret de déplacement (une mère et sa fille rentrant chez elles), l'énoncé demande de traduire des informations visuelles en données numériques et algébriques. Les thèmes centraux abordés ici sont la proportionnalité, le calcul de vitesse moyenne et la modélisation d'une situation par une fonction linéaire. Maîtriser ces concepts est indispensable, car ils représentent souvent une part importante des points lors de l'épreuve finale de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'analyse repose sur l'interprétation de deux courbes : une droite pointillée rouge représentant le parcours de la mère et une ligne brisée bleue pour la fille. Voyons comment décortiquer chaque question avec la rigueur attendue par les correcteurs.

1. Étude du parcours de la mère (Courbe rouge)

La première étape consiste à identifier les caractéristiques du mouvement de la mère. En observant la courbe rouge pointillée, on constate qu'il s'agit d'une droite passant par l'origine du repère $(0;0)$.

• Question 1.a : Temps de parcours. Pour trouver le temps mis par la mère, il suffit de regarder le point final de sa courbe. Le trajet s'arrête à une distance de $10$ km. En projetant ce point sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal), on lit une valeur de $2$ heures. Il est crucial d'utiliser une règle pour assurer la précision de la lecture graphique.
• Question 1.b : Vitesse moyenne. La formule de la vitesse est $v = \frac{d}{t}$. Ici, la distance $d = 10$ km et le temps $t = 2$ h. On obtient donc $v = \frac{10}{2} = 5$ km/h. N'oublie jamais de préciser l'unité dans ta réponse finale.
• Question 1.c : Proportionnalité. En mathématiques, une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine. Comme le parcours de la mère est une droite passant par $(0;0)$, la distance est effectivement proportionnelle au temps.

2. Analyse de la course de la fille (Courbe bleue)

Le parcours de la fille est plus complexe car sa vitesse change, ce qui se traduit graphiquement par des segments de pentes différentes.

• Question 2.a : La pause. Une pause correspond à un moment où la distance parcourue n'augmente plus alors que le temps continue de s'écouler. Sur le graphique, cela se traduit par un palier horizontal. Ce palier commence à $0,25$ h et se termine à $0,75$ h. La durée de la pause est donc de $0,75 - 0,25 = 0,5$ heure, soit $30$ minutes.
• Question 2.b : Comparaison des vitesses. Pour savoir quand elle a couru le plus vite, on compare l'inclinaison (la pente) des segments. Avant la pause, elle parcourt $3$ km en $0,25$ h ($v = 3 / 0,25 = 12$ km/h). Après la pause, elle parcourt les $7$ km restants ($10 - 3$) en environ $1,083$ h ($1,833 - 0,75$). Sa vitesse est d'environ $6,46$ km/h. Elle a donc couru plus vite avant sa pause.

3. Points de rencontre

La question 3 demande combien de fois elles se retrouvent au même endroit au même moment. Graphiquement, cela correspond aux points d'intersection des deux courbes. On observe une intersection à l'origine $(0;0)$ au départ, et une seconde intersection aux alentours de $1,6$ h. Elles se retrouvent donc deux fois au même endroit.

4. Modélisation par une fonction

On nous demande de choisir l'expression de la fonction $f(x)$ pour la mère. Puisque nous avons établi que la distance est proportionnelle au temps avec un coefficient de $5$ (la vitesse calculée en 1.b), la fonction est de la forme $f(x) = ax$. L'expression correcte est donc $f(x) = 5x$.

Les Pièges Classiques à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice est la confusion entre les axes. L'axe vertical (ordonnées) représente la distance, tandis que l'axe horizontal (abscisses) représente le temps. Une autre difficulté réside dans la lecture des heures décimales : attention, $0,5$ heure n'est pas $50$ minutes, mais $30$ minutes ! Enfin, veillez à ne pas confondre la 'vitesse moyenne sur tout le parcours' avec la 'vitesse instantanée' sur un segment spécifique.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre justification. Utilisez des phrases telles que : « Par lecture graphique, on observe que... » ou « D'après la formule $v = d/t$, on calcule... ». Citer les coordonnées des points lus sur le graphique renforce la crédibilité de votre démonstration. En question 4, bien que la justification ne soit pas demandée, gardez à l'esprit que le coefficient $5$ correspond au coefficient directeur de la droite, qui est ici la vitesse constante de la mère.