Introduction à l'Algorithmique Débranchée au Brevet
L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet 2021 (Amérique du Nord) s'inscrit dans une thématique moderne et essentielle du programme de troisième : l'algorithmique débranchée et la prise d'initiatives. Contrairement aux exercices de géométrie classique ou d'algèbre pure, ce type d'énoncé évalue la capacité de l'élève à décoder un système de règles, à modéliser une transformation et à anticiper le résultat d'une suite logique d'actions. L'utilisation de grilles et de motifs noirs et blancs est un classique qui prépare aux concepts de programmation sans nécessiter l'écriture de code complexe. Ici, l'élève doit manipuler des instructions abstraites pour transformer un état initial (une grille blanche) en un état final spécifique.
Analyse des Instructions et du Système
Avant d'aborder les questions, il est crucial de bien comprendre les quatre opérateurs (A, B, C, E) définis dans l'énoncé. L'instruction A agit sur un point unique : la case centrale. L'instruction B cible une diagonale spécifique (bas-gauche et haut-droite). L'instruction C s'occupe de la médiane horizontale (gauche et droite). Enfin, l'instruction E est un opérateur logique de type 'NOT' (NON) : il inverse l'état de chaque case de la grille. Une subtilité majeure est mentionnée dans la remarque : si une case est déjà noire, une instruction demandant de la noircir n'a aucun effet (idempotence). Cette règle est fondamentale pour la question 2 et 3, car l'ordre des instructions peut influencer le résultat final, sauf pour les instructions d'ajout de noir entre elles.
Analyse de la Question 1 : Application Directe
La première question demande de représenter le motif obtenu après la suite A B. C'est une application directe des définitions. En partant d'une grille blanche, l'instruction A noircit la case (1,1). Ensuite, l'instruction B noircit les cases (0,0) et (2,2). Comme ces cases sont distinctes, il n'y a aucun conflit. Le motif final comporte donc trois cases noires : la case centrale et les deux cases de la diagonale montante. C'est un test de lecture de consignes simple mais qui nécessite de la précision dans le dessin.
Analyse de la Question 2 : Rétro-ingénierie et Analyse de Choix
Ici, l'élève doit retrouver quelles propositions permettent d'obtenir un motif spécifique (une grille presque entièrement noire sauf les cases médianes haute/basse et la case centrale). Analysons les propositions :
1. A B C : Noircit la centrale, la diagonale et les médianes latérales. Cela ne correspond pas au motif inversé de l'exemple.
2. C E : Partant de blanc, C noircit les côtés. E inverse tout. Les côtés deviennent blancs, tout le reste devient noir. Cela correspond au motif !
3. B C E C : Cette suite est plus complexe. B et C noircissent 4 cases. E inverse tout (les 4 deviennent blanches, les 5 autres noires). Le dernier C re-noircit les médianes latérales. Cela produit un motif dense. En vérifiant étape par étape, on constate que cette combinaison mène au résultat.
4. C A E A : Cette suite ne permet pas d'obtenir la configuration souhaitée à cause de la répétition de A après l'inversion E.
Analyse de la Question 3 : Stratégie de Prise d'Initiatives
La question 3 est la plus exigeante car elle demande de construire soi-même une solution. Le motif cible présente un aspect 'en damier inversé' ou plutôt une forme de 'X' blanc sur fond noir. Pour réussir ici, il faut souvent penser à l'envers ou utiliser l'instruction E (l'inversion). Une stratégie efficace consiste à identifier quelles cases sont *blanches* dans le motif final. Si les cases blanches sont peu nombreuses, on peut imaginer noircir ces cases par une suite d'instructions simples (A, B ou C), puis appliquer E à la toute fin. Par exemple, si le motif final a les cases (0,0), (1,1) et (2,2) en blanc, on aurait pu faire A B puis E. Ici, les cases blanches sont la diagonale montante (B) et la centrale (A). Donc la suite B A E (ou A B E) est une solution élégante. La prise d'initiative réside dans la capacité à choisir le chemin le plus court ou le plus logique.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal réside dans la mauvaise interprétation de l'instruction E. Beaucoup d'élèves pensent que E noircit tout. Non, E change le blanc en noir ET le noir en blanc. Si vous faites A puis E, la case centrale devient blanche ! Un autre piège est l'oubli de la remarque sur les cases déjà noires : faire deux fois l'instruction B ne change rien de plus que de la faire une seule fois. Enfin, attention à l'orientation des cases dans les instructions B et C : ne confondez pas 'haut-droite' et 'haut-gauche'.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Même si l'énoncé précise 'aucune justification n'est demandée' pour le début, pour la question 3, il est conseillé de présenter clairement la suite d'instructions (ex: 'Une suite possible est : A B E'). Pour les questions de dessin, utilisez une règle et des hachures propres. La clarté visuelle est votre meilleure alliée pour que le correcteur valide immédiatement votre compréhension du système algorithmique. Ce type d'exercice rapporte des points précieux car il ne repose pas sur des calculs lourds mais sur la rigueur logique.