Introduction à la Géométrie dans l'Espace au Brevet

La géométrie dans l'espace est une thématique récurrente de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). L'exercice 5 du sujet Asie 2021 est particulièrement intéressant car il combine des compétences de visualisation spatiale, de calcul de volumes et de prise d'initiatives. À travers l'étude de solides composés de cubes unités, cet exercice évalue la capacité de l'élève à passer d'une représentation en deux dimensions (perspective cavalière ou vue de dessus) à une réalité tridimensionnelle. Les notions de pavé droit, de cube et d'unités de volume sont ici au cœur du sujet.

Analyse de la Première Partie : Compléter un Solide

La première partie de l'exercice demande de déterminer le nombre minimal de cubes unités manquants pour transformer un solide irrégulier en un pavé droit. Cette question sollicite la vision dans l'espace. Pour réussir, l'élève doit d'abord identifier les dimensions maximales du pavé droit cible. En observant le schéma en perspective, on cherche la longueur, la largeur et la hauteur maximales occupées par les cubes présents. Une fois ces dimensions (L, l, h) identifiées, le volume total du pavé droit est donné par la formule $V = L \times l \times h$. Le nombre de cubes manquants est alors la différence entre ce volume total et le nombre de cubes déjà posés. La difficulté réside dans le dénombrement précis des cubes visibles et, surtout, des cubes cachés qui servent de support aux cubes supérieurs.

Analyse de la Deuxième Partie : Le Puzzle 3D et les Volumes

La seconde partie s'apparente à un problème de type 'Soma Cube'. Sept pièces composées de cubes d'arête 1 dm sont présentées. La première question demande une vue de dessus de la pièce n°4. C'est un exercice de projection orthogonale classique. L'élève doit faire attention à l'échelle imposée : 1 dm réel = 2 cm sur le dessin. Si la pièce est composée de cubes, sa vue de dessus sera un assemblage de carrés de 2 cm de côté.

Calcul du Volume Total et de l'Arête

La question 2 est une superbe illustration de la 'prise d'initiative'. Plutôt que d'essayer de construire mentalement le grand cube (ce qui est extrêmement complexe), il faut utiliser les propriétés d'additivité des volumes. Le volume du grand cube est égal à la somme des volumes des sept pièces individuelles. En additionnant le nombre de cubes de chaque pièce (3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4), on obtient un total de 27 cubes. Puisque chaque cube a une arête de 1 dm, son volume est de $1 \text{ dm}^3$. Le volume total est donc de $27 \text{ dm}^3$.

Pour trouver l'arête du grand cube, on utilise la formule du volume d'un cube : $V = c^3$, où $c$ est la longueur de l'arête. On cherche donc un nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, donne 27. L'élève de 3ème doit reconnaître que $3 \times 3 \times 3 = 27$, ou utiliser la touche racine cubique de sa calculatrice. L'arête mesure donc 3 dm.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques sont à surveiller dans ce type d'exercice : 1. L'oubli de l'échelle : Dans la vue de dessus, dessiner des carrés de 1 cm au lieu de 2 cm. 2. L'erreur de dénombrement : Oublier de compter les cubes 'supports' invisibles dans la première partie. 3. La confusion d'unités : Ne pas préciser que le volume est en $\text{dm}^3$ et l'arête en $\text{dm}$. 4. La confusion entre aire et volume : Utiliser des formules de surface au lieu de compter les unités de volume.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour maximiser vos points, détaillez chaque étape de votre raisonnement. Pour la question du volume total, écrivez explicitement l'addition : $V = 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 27$. Pour la vue de dessus, utilisez des instruments de géométrie (règle, équerre) pour garantir la précision du tracé à l'échelle. Enfin, n'oubliez jamais de conclure par une phrase répondant précisément à la question posée, en mentionnant les unités de mesure.

Pourquoi la Prise d'Initiative est-elle valorisée ?

Dans cet exercice, la 'prise d'initiative' réside dans le fait de comprendre que la somme des volumes des pièces est la clé, sans qu'on vous demande explicitement de les additionner. C'est cette autonomie de réflexion qui est récompensée par les correcteurs du Brevet. Maîtriser ce passage entre le dénombrement d'unités et l'application de formules géométriques est un signe de maturité mathématique attendu en fin de cycle 4.