Introduction aux notions de fonctions et proportionnalité

Cet exercice issu du sujet de Mathématiques du Brevet 2021 (Zone Polynésie) est un pilier pour tout élève de 3ème. Il mobilise des compétences fondamentales : la lecture graphique, la reconnaissance de la proportionnalité, l'utilisation des fonctions linéaires et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif est de comparer trois offres commerciales (Fournisseurs A, B et C) pour aider Nora à optimiser ses achats de miniatures de la Tour Eiffel. Comprendre le lien entre une représentation graphique (une droite passant par l'origine) et une situation de proportionnalité est la clé de la réussite ici.

Analyse méthodique de l'exercice

1. Maîtriser la lecture graphique (Fournisseurs A et B)

La première question demande une lecture directe des graphiques. Pour le fournisseur A, on cherche l'image de 200. Sur l'axe des abscisses (horizontal), repérez 200, montez verticalement jusqu'à la droite rouge, puis lisez la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (vertical). On y lit 500 euros. Pour le fournisseur B, c'est une recherche d'antécédent : on part de 1300 euros sur l'axe vertical pour rejoindre la courbe bleue, puis on descend vers l'axe des abscisses pour trouver environ 600 tours Eiffel. La précision est limitée par l'échelle, il est donc crucial de bien observer les graduations.

2. Identification de la proportionnalité

La question 2 interroge sur la nature de la relation. Un prix est proportionnel au nombre d'articles si et seulement si sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Pour le fournisseur A, c'est une droite passant par (0,0), donc le prix est proportionnel. Pour le fournisseur B, la représentation est une courbe (une ligne courbe), ce qui indique que le prix unitaire change selon la quantité : il n'y a pas de proportionnalité.

3. Modélisation par une fonction linéaire

On nous indique que pour le fournisseur A, le prix suit une fonction linéaire $f(x) = ax$. Avec l'information $f(100) = 250$, on calcule le coefficient de proportionnalité $a = 250 / 100 = 2,5$. L'expression est donc $f(x) = 2,5x$. Ce coefficient représente le prix unitaire d'une tour Eiffel (2,50 €). Pour 1000 articles, on calcule $f(1000) = 2,5 \times 1000 = 2500$ euros. En comparant avec le graphique B (où pour 1000 articles le prix est de 1800 euros), on conclut que le fournisseur B est bien plus avantageux pour de grosses quantités.

4. Introduction d'une fonction affine (Fournisseur C)

Le fournisseur C propose un tarif avec un coût fixe (150 €) et un coût variable (2 € par unité). C'est une fonction affine de type $g(x) = 2x + 150$. Pour remplir le tableau, on applique la formule : pour 200 unités, $2 \times 200 + 150 = 550$ euros. Pour retrouver le nombre d'articles avec 580 euros, on résout l'équation $2x + 150 = 580$, soit $2x = 430$, d'où $x = 215$.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Attention aux unités sur les axes ! Sur le graphique du fournisseur A, un grand carreau peut représenter 100 unités, mais vérifiez toujours les subdivisions. Ne confondez pas non plus la fonction linéaire (proportionnalité pure) et la fonction affine (tarif avec abonnement ou frais fixes). Un autre piège fréquent est d'oublier de justifier la non-proportionnalité du fournisseur B par la forme non rectiligne de sa courbe.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour la lecture graphique, utilisez des phrases types : "Par lecture graphique, je repère le point d'abscisse 200 sur la droite du fournisseur A, son ordonnée est 500". Pour l'équation finale $2,5x = 150 + 2x$, expliquez que $2,5x$ représente le prix chez A et $150 + 2x$ le prix chez C. La solution $x = 300$ (obtenue par $0,5x = 150$) signifie que pour 300 tours Eiffel achetées, le prix est identique chez les deux fournisseurs. C'est le point d'équilibre. Mentionner cette interprétation concrète valorise énormément votre copie auprès du correcteur.