Introduction aux notions de l'exercice 6 (Nouvelle-Calédonie 2021)

Cet exercice de mathématiques du Brevet des collèges 2021 porte sur un thème transversal et concret : la sécurité routière. À travers l'étude de la distance d'arrêt, les élèves sont confrontés à trois notions fondamentales du programme de 3ème : la proportionnalité, la lecture graphique et l'utilisation d'un tableur. Comprendre comment la vitesse influe sur les distances de réaction et de freinage est non seulement un enjeu mathématique, mais aussi un enjeu citoyen. Nous allons décomposer chaque partie pour maîtriser les méthodes de résolution indispensables pour l'examen.

Analyse de la Partie 1 : Distance de réaction et proportionnalité

La première partie nous demande d'étudier un graphique représentant la distance de réaction en fonction de la vitesse. La question 1 est un classique du brevet : comment reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique ? Pour qu'il y ait proportionnalité, la représentation graphique doit impérativement être une droite qui passe par l'origine du repère (le point (0;0)). En observant le graphique de l'énoncé, on voit clairement une ligne droite partant de zéro. C'est la justification attendue : « La représentation graphique est une droite passant par l'origine, donc la distance de réaction est proportionnelle à la vitesse. »

La question 2 demande une lecture graphique précise. Pour compléter le tableau, l'élève doit se déplacer sur les axes. Pour une vitesse de $0$ km/h, la distance est évidemment de $0$ m. Pour trouver la vitesse correspondant à une distance de réaction de $15$ m, il faut partir de l'ordonnée $15$, rejoindre la droite, puis descendre vers l'axe des abscisses. On trouve environ $54$ km/h (ou $55$ selon la précision du tracé). Enfin, pour $90$ km/h, on monte jusqu'à la droite puis on lit l'ordonnée : on obtient $25$ m. Ces lectures testent votre capacité à interpréter des données visuelles.

Analyse de la Partie 2 : Distance de freinage et outils numériques

Ici, la situation change. On nous donne une formule mathématique : $d = \dfrac{v^2}{203,2}$. Contrairement à la distance de réaction, la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse car la variable $v$ est au carré. Si on double la vitesse, la distance de freinage est multipliée par quatre !

L'utilisation du tableur est une compétence clé du socle commun. Dans la cellule B2, on veut calculer la distance pour la vitesse située en B1 ($10$ km/h). La formule doit donc reprendre la structure de l'énoncé. En informatique, le carré se note souvent $B1*B1$ et la division $/$. La bonne formule est donc = B1*B1/203.2. Attention : ne tapez jamais la valeur numérique (10) dans la formule, utilisez toujours la référence de la cellule (B1) pour pouvoir l'étirer.

Pour le calcul à $90$ km/h, il suffit d'appliquer la formule : $d = 90^2 / 203,2 = 8100 / 203,2$. À la calculatrice, on obtient environ $39,86$ m, ce qui valide l'arrondi à $40$ m proposé par l'énoncé. Il est crucial d'écrire le calcul intermédiaire sur votre copie pour montrer au correcteur que vous maîtrisez la substitution de valeur dans une formule.

Analyse de la Partie 3 : Synthèse de la distance d'arrêt

La distance d'arrêt est la somme des deux distances précédentes : $D_a = D_r + D_f$. C'est une application directe de l'addition de deux résultats obtenus précédemment. Pour un véhicule roulant à $90$ km/h :
1. Nous avons trouvé graphiquement que la distance de réaction $D_r$ est de $25$ m.
2. Nous avons calculé que la distance de freinage $D_f$ est d'environ $40$ m.
3. Le calcul final est donc : $25 + 40 = 65$ m.

Cette partie permet de vérifier la cohérence globale de votre travail. Si vous trouvez une distance d'arrêt délirante (comme 500 mètres ou 2 mètres), c'est qu'il y a une erreur de lecture ou de calcul en amont.

Les pièges à éviter et conseils de rédaction

Le premier piège est l'unité. Bien que toutes les distances soient ici en mètres, soyez vigilants si l'énoncé mélangeait des centimètres ou des kilomètres. Deuxièmement, pour la justification de la proportionnalité, n'oubliez jamais de mentionner **deux** conditions : « une droite » ET « passant par l'origine ». Si l'une des deux manque, votre justification est incomplète.

Concernant le tableur, n'oubliez pas le signe égal = au début de la formule. Sans lui, le tableur affiche le texte mais n'effectue aucun calcul. Enfin, soignez votre rédaction : faites des phrases courtes du type « D'après le graphique... » ou « En remplaçant $v$ par $90$ dans la formule... ». Une copie aérée et structurée est la clé pour obtenir le maximum de points.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est-il important ?

L'exercice 6 du sujet Calédonie 2021 est représentatif de ce qu'on appelle les « problèmes complexes ». Il ne demande pas de calculs extrêmement difficiles, mais il exige une bonne compréhension des liens entre différents types de représentations : un texte, un graphique, une formule et un tableau. En maîtrisant ces passages d'un langage à l'autre, vous vous assurez une excellente note au Brevet et vous préparez sereinement l'entrée au lycée.