Introduction aux notions du sujet

Cet exercice issu de la session 2021 du Brevet des collèges porte sur un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème : le calcul littéral couplé à l'utilisation d'un tableur. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à traduire un programme de calcul sous forme algébrique et à prouver une propriété arithmétique. Les notions mobilisées incluent le développement d'expressions (identités remarquables), la manipulation de nombres relatifs et la compréhension des références de cellules dans un logiciel comme Excel ou LibreOffice Calc.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Application numérique du programme

La première étape consiste à tester le programme avec des valeurs concrètes. C'est une phase de vérification cruciale qui permet de comprendre la logique interne de l'algorithme avant de passer à l'abstraction.

Pour la question 1.a, avec le nombre 2 :
- Étape 1 : On choisit $2$.
- Étape 2 : Ajouter 2 donne $2 + 2 = 4$.
- Étape 3 : Le carré du résultat est $4^2 = 16$.
- Étape 4 : Soustraire le carré du nombre de départ donne $16 - 2^2 = 16 - 4 = 12$.
La vérification est confirmée.

Pour la question 1.b, avec $-8$ :
- Étape 1 : On choisit $-8$.
- Étape 2 : Ajouter 2 donne $-8 + 2 = -6$.
- Étape 3 : Le carré est $(-6)^2 = 36$ (attention, un carré est toujours positif !).
- Étape 4 : Soustraire le carré du départ : $36 - (-8)^2 = 36 - 64 = -28$.

2. Maîtrise de l'outil tableur

La question 2 demande d'identifier la formule en cellule B5. Il faut comprendre comment le tableur lie les étapes entre elles. La cellule B4 contient le carré de l'étape précédente ($B3^2$) et la cellule B2 contient le nombre de départ. La consigne du programme est : "Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent".
Le "résultat précédent" est en B4. Le "nombre de départ" est en B2.
La formule correcte est donc =B4 - B2 * B2 (ou =B4 - B2^2). L'élève doit savoir que l'étoile `*` représente la multiplication dans un tableur.

3. Passage à l'expression algébrique

C'est ici que l'exercice bascule dans le calcul littéral pur. En choisissant $x$ comme variable :
- Étape 1 : $x$
- Étape 2 : $x + 2$
- Étape 3 : $(x + 2)^2$
- Étape 4 : $(x + 2)^2 - x^2$.
Pour la question 3.b, on utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ou on développe $(x+2)(x+2)$.
$(x+2)^2 - x^2 = (x^2 + 4x + 4) - x^2$. En simplifiant les $x^2$, il reste $4x + 4$.

4. Raisonnement arithmétique et preuve

La dernière question demande si le résultat est toujours un multiple de 4. L'expression obtenue précédemment est $4x + 4$. En factorisant par 4, on obtient $4(x + 1)$.
Par définition, si $x$ est un entier, alors $x+1$ est aussi un entier. Le produit $4 imes (x+1)$ est donc nécessairement un multiple de 4. L'affirmation est exacte.

Les Pièges à Éviter

• Les signes négatifs : Lors de la question 1.b, l'erreur classique est d'écrire $-8^2 = -64$. Rappelez-vous que $(-8)^2 = 64$. Les parenthèses sont obligatoires pour élever un nombre négatif au carré.
• La priorité des opérations : Dans la formule du tableur, bien vérifier que la soustraction intervient après la puissance ou la multiplication.
• La confusion entre cellule et valeur : Ne confondez pas le contenu d'une cellule (le résultat) avec son adresse (B2, B3...).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez vos calculs ligne par ligne. Ne donnez pas seulement le résultat final. Pour la démonstration finale, utilisez une phrase de conclusion claire : "L'expression étant de la forme $4 imes k$ avec $k$ un entier, le résultat est bien un multiple de 4". Cette rigueur est très appréciée par les correcteurs.