Introduction aux notions d'Arithmétique et de Pourcentages

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2021 de Nouvelle-Calédonie est un classique incontournable. Il mobilise deux compétences majeures du programme de 3ème : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers, diviseurs, division euclidienne) et les pourcentages (calcul de réduction commerciale). La maîtrise de ces notions est essentielle pour valider les compétences 'Chercher' et 'Calculer' du socle commun. L'énoncé nous place dans une situation concrète : la gestion des stocks d'une pâtisserie, ce qui permet de donner du sens aux mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Étude arithmétique des nombres 330 et 500

La première partie de l'exercice se concentre sur la structure des nombres. À la question 1.a, on demande pourquoi $330$ n'est pas un nombre premier. Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même. Or, $330$ se termine par 0, il est donc divisible par 2, 5 et 10. La preuve est faite immédiatement par les critères de divisibilité.

Pour la décomposition en produit de facteurs premiers (1.b), la méthode consiste à diviser successivement par les nombres premiers croissants ($2, 3, 5, 7, 11...$). Pour $330$ :
- $330 = 2 \times 165$
- $165 = 3 \times 55$
- $55 = 5 \times 11$
On obtient donc : $330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$.

La question 1.c et 1.d nous interrogent sur la notion de diviseur. Justifier que $165$ divise $330$ revient à montrer que le quotient est un entier. Ici, $330 = 165 \times 2$. À l'inverse, pour $500$, la division de $500$ par $165$ donne environ $3,03$. Puisque le résultat n'est pas un entier, $165$ n'est pas un diviseur de $500$.

2. Application concrète : La répartition des biscuits

La pâtisserie souhaite remplir $165$ boîtes. C'est ici que l'arithmétique devient un outil pratique. Pour les biscuits aux noix (question 2), comme $165$ divise $330$ et que $330 = 165 \times 2$, il y aura exactement $2$ biscuits aux noix par boîte.

Pour les biscuits au chocolat (question 3), la situation est différente car $165$ ne divise pas $500$. Il faut alors effectuer une division euclidienne de $500$ par $165$. On trouve $500 = (165 \times 3) + 5$. Cela signifie que la pâtisserie peut mettre $3$ biscuits au chocolat par boîte (le quotient), mais qu'il en restera $5$ inutilisés (le reste). Cette distinction entre quotient et reste est cruciale dans les problèmes de partage.

3. Calcul commercial et Pourcentages

La dernière question (4) demande de calculer le prix de 12 boîtes avec une réduction. C'est un calcul en deux étapes. D'abord, le prix brut : $12 \times 3650 = 43800$ francs. Ensuite, l'application de la réduction de 5%. Pour calculer une baisse de 5%, on peut multiplier par le coefficient multiplicateur $1 - (5/100) = 0,95$. Ainsi, $43800 \times 0,95 = 41610$.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est de ne pas vérifier la condition d'application de la remise. La réduction ne s'applique qu'à partir de 10 boîtes. Comme l'achat porte sur 12 boîtes, la condition est remplie. Un élève distrait pourrait oublier cette vérification sur un autre sujet.
Le deuxième piège concerne la décomposition en facteurs premiers : assurez-vous que tous vos facteurs sont bien premiers (par exemple, ne laissez pas un '9', décomposez-le en $3 \times 3$). Enfin, dans la division euclidienne, ne confondez pas le nombre de biscuits par boîte avec le reste de la division.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Énoncez clairement les propriétés utilisées (ex: 'D'après les critères de divisibilité...').
2. Posez vos opérations de division ou vos étapes de décomposition. Ne donnez pas seulement le résultat final.
3. Pour les pourcentages, écrivez la formule : 'Prix final = Prix initial \times (1 - taux/100)'.
4. N'oubliez jamais l'unité dans votre phrase de conclusion (ici, les 'francs'). Une réponse sans unité est souvent pénalisée par les correcteurs.

Conclusion pédagogique

Cet exercice est une excellente synthèse. Il montre comment des propriétés abstraites (nombres premiers) servent à résoudre des problèmes de logistique (répartition de biscuits) et de finance (calcul de remise). En maîtrisant ces enchaînements, vous garantissez une base solide pour l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet.