Introduction aux notions fondamentales du Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2021 pour la zone Amérique du Nord, est un modèle de polyvalence pédagogique. Il se présente sous la forme d'un questionnaire à six affirmations où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Ce type d'exercice est particulièrement apprécié des correcteurs car il permet de balayer une large partie du programme de mathématiques de 3ème : fonctions affines, calcul littéral, arithmétique, statistiques, trigonométrie et théorème de Pythagore. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver si l'affirmation est vraie ou fausse, mais de démontrer votre capacité à mobiliser les définitions et les théorèmes adéquats.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Fonctions : Calcul d'image et notation

L'affirmation 1 porte sur la fonction $f(x) = 3x - 7$. Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction. Ici, on cherche l'image de $-1$. Le calcul est le suivant : $f(-1) = 3 \times (-1) - 7 = -3 - 7 = -10$. Or, l'affirmation suggère que l'image est 2. C'est donc Faux. Attention à la gestion des signes négatifs, c'est l'erreur la plus fréquente chez les élèves de 3ème lors de l'application d'une fonction affine.

2. Calcul Littéral : La double distributivité

L'affirmation 2 concerne l'expression $\mathrm{E} = (x - 5)(x + 1)$. Pour vérifier si la forme développée est $x^2 - 4x - 5$, nous utilisons la règle de la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. En appliquant : $x \times x + x \times 1 - 5 \times x - 5 \times 1 = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5$. L'affirmation est donc Vraie. Veillez à bien regrouper les termes en $x$ et à respecter les signes lors des multiplications.

3. Arithmétique : Nombres premiers et puissances

Pour l'affirmation 3, on teste la valeur $n = 5$ dans l'expression $2^n + 1$. On obtient $2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$. Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Cependant, $33$ est divisible par $1$, $3$, $11$ et $33$ (puisque $3 \times 11 = 33$). Comme il possède plus de deux diviseurs, 33 n'est pas premier. L'affirmation est Fausse. Ne confondez jamais nombre impair et nombre premier.

4. Statistiques et Probabilités : Somme des fréquences

L'affirmation 4 traite des fréquences d'apparition d'un dé à 6 faces. La règle d'or en statistique est que la somme de toutes les fréquences d'une série doit être égale à 1. Calculons la somme des fréquences données : $\frac{3}{15} + \frac{4}{15} + \frac{5}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$. Puisque la somme des cinq premières faces atteint déjà 1, la fréquence d'apparition de la face 6 est obligatoirement $1 - 1 = 0$. L'affirmation est Vraie.

5. Trigonométrie : Utilisation de la tangente

Dans le triangle RAS rectangle en S (Affirmation 5), nous connaissons le côté opposé à l'angle $\widehat{\mathrm{ARS}}$ (AS = 80 cm) et nous cherchons le côté adjacent (RS). La formule de la tangente est ici la plus appropriée : $\tan(\widehat{\mathrm{ARS}}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AS}{RS}$. D'où $\tan(26^{\circ}) = \frac{80}{RS}$, ce qui implique $RS = \frac{80}{\tan(26^{\circ})}$. À la calculatrice, on trouve $RS \approx 164,02$ cm. L'affirmation affirmant environ 164 cm est donc Vraie.

6. Géométrie : Pythagore et diagonales du rectangle

Un rectangle ABCD de 160 cm par 95 cm peut être divisé en deux triangles rectangles par sa diagonale. Selon le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 160^2 + 95^2 = 25600 + 9025 = 34625$. La longueur de la diagonale est $\sqrt{34625} \approx 186,0779...$ cm. L'affirmation dit "exactement 186 cm". Or, $\sqrt{34625}$ n'est pas un nombre entier. L'affirmation est donc Fausse à cause du mot "exactement".

Pièges Classiques et Conseils de Rédaction

Le principal piège de cet exercice réside dans la lecture des consignes. Le mot justifiée est écrit en gras : une réponse "Vrai" ou "Faux" sans calcul ou explication textuelle vaudra 0 point. Concernant la géométrie, faites attention à la précision demandée. Une valeur approchée n'est pas une valeur exacte. En trigonométrie, vérifiez toujours que votre calculatrice est réglée en mode Degrés (DEG) et non en Radians. Enfin, pour l'arithmétique, apprenez par cœur la liste des nombres premiers inférieurs à 30 pour gagner du temps.

Méthodologie pour réussir le jour J

Pour maximiser vos points au Brevet des collèges :
1. Annoncez clairement votre position (Vrai ou Faux).
2. Énoncez le théorème ou la propriété utilisée (ex: "D'après le théorème de Pythagore...").
3. Présentez vos calculs proprement avec les unités de mesure.
4. Concluez en revenant à l'affirmation initiale. Une rédaction structurée rassure le correcteur et garantit l'obtention de la totalité des points, même si une petite erreur de calcul s'est glissée dans le raisonnement.