Introduction à l'algorithmique au Brevet

L'algorithmique est devenue une composante essentielle de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2023 en Polynésie (Exercice 3) sollicite des compétences clés : la compréhension d'un script Scratch, la manipulation de variables, les transformations géométriques simples et le calcul de pourcentages. L'objectif ici est de tracer une série de dix carrés imbriqués dont la taille diminue progressivement. Cette structure répétitive fait appel à la notion de boucle, un concept fondamental en informatique.

Analyse de la Question 1 : Le calcul de réduction

La première question demande de montrer que le côté du deuxième carré mesure $240$ pixels. Pour réussir, l'élève doit convertir une information textuelle en calcul mathématique. On nous indique que chaque nouveau carré mesure $20\%$ de moins que le précédent. Il s'agit donc d'une réduction de coefficient. Si le premier côté est $L_1 = 300$, une réduction de $20\%$ revient à multiplier par $(1 - \frac{20}{100})$, soit $0,8$. Le calcul est le suivant : $300 \times 0,8 = 240$. On peut aussi calculer la valeur de la réduction : $300 \times 0,2 = 60$, puis soustraire cette valeur à la longueur initiale : $300 - 60 = 240$. Cette étape est cruciale car elle valide la compréhension du facteur de réduction utilisé plus tard dans le script (ligne 11 : mettre Côté à Côté * 0,8).

Analyse de la Question 2 : Définition d'un bloc de tracé

La création de blocs personnalisés dans Scratch permet de simplifier le code principal. Ici, le bloc « Carré » doit être complété. Pour tracer un carré, la logique est universelle : il faut répéter quatre fois une séquence de mouvement et de rotation. La ligne 2 doit donc contenir la valeur $4$. Pour la ligne 4, il s'agit de l'angle de rotation. Un carré possède quatre angles droits, et pour revenir à l'orientation initiale après quatre rotations, le lutin doit effectuer un tour complet de $360^{\circ}$. On calcule donc $360 / 4 = 90$. La ligne 4 doit être complétée par $90$ degrés. Il est important de noter que le lutin avance de la valeur contenue dans la variable « Côté », ce qui rend le bloc dynamique.

Analyse de la Question 3 : Coordonnées et Géométrie

La question 3.a. interroge sur les coordonnées de départ. Le script indique « aller à x: Côté / 2 y: Côté / 2 ». Au début du premier tour de boucle, la variable « Côté » a été fixée à $300$. Le stylo se place donc au point de coordonnées $(150 ; 150)$.
Pour la question 3.b., il faut identifier la proposition graphique correcte. Le script s'oriente à $180^{\circ}$ (vers le bas) et commence à $(150 ; 150)$. En traçant un carré de $300$ de côté vers le bas puis vers la gauche, le carré sera centré sur l'origine $(0 ; 0)$. La Proposition 2 est la seule montrant des carrés centrés sur l'origine du repère, ce qui correspond à la division par 2 des coordonnées de départ par rapport à la longueur du côté.

Analyse de la Question 3.c : Suite de calculs et arrondis

On cherche la longueur du 10ème carré. C'est une application directe des suites géométriques (bien que le terme ne soit pas au programme de 3ème, le raisonnement l'est). Le 1er carré mesure $300$. Le 2ème $300 \times 0,8$. Le 3ème $300 \times 0,8^2$. Le 10ème carré mesurera donc $300 \times 0,8^9$. À la calculatrice : $300 \times 0,134217728 \approx 40,265$. L'énoncé demande un arrondi au pixel près, soit $40$ pixels. Attention à ne pas multiplier par $0,8$ dix fois, mais bien neuf fois pour passer du premier au dixième terme.

Analyse de la Question 4 : Gestion de l'épaisseur (Stylo)

Cette question demande de modifier l'apparence. L'instruction B (mettre la taille à 11) est une initialisation. Elle doit être placée avant la boucle ou juste au début du premier tracé pour fixer le point de départ (entre les lignes 4 et 5 par exemple). L'instruction A (ajouter -1) est une décrémentation. Pour que l'épaisseur diminue à chaque nouveau carré, cette instruction doit impérativement se trouver *à l'intérieur* de la boucle répétitive (entre les lignes 10 et 11 ou 11 et 12), afin d'être exécutée à chaque itération.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Le piège classique dans cet exercice est la confusion entre « mettre à » et « ajouter à ». « Mettre » remplace la valeur, « Ajouter » modifie la valeur existante. Lors de la rédaction, soyez précis sur les unités (pixels) et montrez bien vos étapes de calcul pour la question 1 et 3.c. Même si la justification n'est pas attendue pour certaines questions, garder un brouillon propre permet d'éviter les erreurs de saisie sur la calculatrice, notamment pour les puissances de $0,8$. Enfin, n'oubliez pas que l'orientation à $180^{\circ}$ change le sens du tracé initial : le lutin descend d'abord sur l'axe des ordonnées.