Introduction aux notions clés du Brevet 2023

Cet exercice 4 du sujet de Mathématiques du Brevet 2023 (Etrangers) est une pièce maîtresse pour tout élève de 3ème. Il combine deux piliers du programme : les probabilités et l'arithmétique. La première partie teste la capacité à modéliser une expérience aléatoire à deux épreuves, tandis que la seconde partie se concentre sur l'optimisation par la recherche de diviseurs communs (PGCD) via la décomposition en facteurs premiers.

Analyse Méthodique de la Partie A : Les Probabilités

L'urne contient un total de 7 boules (3 noires + 4 rouges). C'est une situation d'équiprobabilité puisque les boules sont indiscernables au toucher.

1. Calcul de probabilités simples

Pour la question 1.a, il s'agit d'appliquer la formule classique : $P = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$. Il y a 4 boules rouges sur 7 au total, la probabilité est donc de $4/7$. Pour la question 1.b, les numéros pairs présents sont le 2 (en noir), le 2 (en rouge) et le 4 (en rouge). Cela nous donne 3 boules paires, soit une probabilité de $3/7$.

2. Expérience à deux épreuves avec remise

Le jeu se corse avec un tirage successif avec remise. Cela signifie que l'univers des possibles est de $7 \times 7 = 49$ issues. Pour gagner, il faut obtenir le couple (Rouge 1 ; Noire) ou (Noire ; Rouge 1). Attention : l'ordre compte !

Analysons les probabilités : la probabilité de tirer la boule rouge n°1 est de $1/7$. La probabilité de tirer une boule noire (n'importe laquelle parmi les 3) est de $3/7$. Les deux chemins gagnants sont : (R1, N) avec $1/7 \times 3/7 = 3/49$ et (N, R1) avec $3/7 \times 1/7 = 3/49$. En additionnant ces deux probabilités disjointes, on obtient une probabilité totale de gagner de $6/49$.

Analyse Méthodique de la Partie B : L'Arithmétique et les Lots

Cette partie demande une rigueur mathématique sur la structure des nombres.

1. Critères de divisibilité

La question de savoir si l'on peut faire 3 lots revient à vérifier si 3 est un diviseur commun à 195 et 234. On utilise le critère de la somme des chiffres : $1+9+5 = 15$ (multiple de 3) et $2+3+4 = 9$ (multiple de 3). La réponse est donc affirmative : il est possible de répartir équitablement les figurines et autocollants dans 3 lots.

2. Décomposition en facteurs premiers

Pour décomposer 195 : il se termine par 5, donc il est divisible par 5 ($195 = 5 \times 39$). Or $39 = 3 \times 13$. La décomposition de 195 est donc $3 \times 5 \times 13$. Cette étape est cruciale pour identifier tous les diviseurs possibles du nombre.

3. Optimisation et PGCD

Pour trouver le nombre maximum de lots, on cherche le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre 195 et 234. En comparant les décompositions : $195 = 3 \times 5 \times 13$ et $234 = 2 \times 3^2 \times 13$. Les facteurs communs sont un '3' et le '13'. Le PGCD est donc $3 \times 13 = 39$. On peut faire au maximum 39 lots.

Pour la composition de chaque lot, il suffit de diviser les totaux par 39 : $195 / 39 = 5$ figurines et $234 / 39 = 6$ autocollants.

Les Pièges à Éviter

En probabilités, l'erreur classique est d'oublier que le tirage s'effectue 'avec remise'. Si le tirage était 'sans remise', le dénominateur du second tirage passerait à 6. En arithmétique, veillez à ne pas oublier le facteur 13 lors de la comparaison des décompositions ; il est souvent négligé par les élèves qui s'arrêtent aux petits nombres premiers (2, 3, 5).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez clairement vos événements en probabilités.
2. Énoncez les critères de divisibilité utilisés (ex: 'La somme des chiffres est...').
3. Présentez vos décompositions en colonnes ou sous forme de produits clairs.
4. Concluez toujours par une phrase réponse qui reprend les unités (lots, figurines, etc.).