Introduction : Les fondamentaux du Brevet en Géométrie et Grandeurs

Cet exercice, issu de la session 2023 pour l'Amérique du Nord, est un modèle de ce que l'on attend d'un élève de 3ème à l'épreuve de mathématiques. Il mobilise trois compétences majeures : le calcul de périmètre (géométrie plane), la maîtrise des vitesses (grandeurs composées) et la gestion de budget via la proportionnalité. L'objectif est de vérifier que l'élève est capable de passer d'un modèle schématique à une application concrète (la gestion d'un hippodrome).

Analyse de la Question 1 : Calcul de la longueur de la piste

Pour calculer la longueur totale d'un tour de piste, il faut décomposer la figure géométrique. Le schéma nous indique que la piste est formée de deux segments rectilignes de $850$ m chacun et de deux virages en demi-cercle. La première astuce consiste à remarquer que deux demi-cercles de même rayon forment un cercle complet.

Le rayon $R$ est de $40$ m. La formule du périmètre d'un cercle est $P = 2 \times \pi \times R$. En appliquant les valeurs numériques : $P_{virages} = 2 \times \pi \times 40 = 80\pi \approx 251,32$ m. On ajoute ensuite les deux lignes droites : $850 \times 2 = 1700$ m. Le calcul final est donc $1700 + 80\pi \approx 1951,32$ m. L'énoncé demandant une valeur approchée à l'unité près, on valide bien les $1951$ m. Attention : N'utilisez pas une valeur trop arrondie de $\pi$ (comme 3,14) dès le début du calcul pour éviter les erreurs de précision.

Analyse de la Question 2 : Vitesse moyenne et conversion

La question 2 traite des vitesses, une notion souvent redoutée. La formule de base est $v = \frac{d}{t}$. Ici, la distance $d$ est le tour de piste, soit $1951$ m. Le temps $t$ est de $2$ min $9$ s.

Étape 1 : Conversion du temps en secondes

C'est l'étape cruciale. On ne peut pas diviser des mètres par des minutes et des secondes mélangées. $2 \text{ min } 9 \text{ s} = 2 \times 60 + 9 = 129 \text{ secondes}$.

Étape 2 : Calcul en m/s

On effectue la division : $1951 / 129 \approx 15,12$. À l'unité près, la vitesse est donc de $15$ m/s.

Étape 3 : Conversion en km/h

Il existe deux méthodes. La méthode experte consiste à multiplier le résultat en m/s par $3,6$ car $1 \text{ m/s} = 3,6 \text{ km/h}$ (provenant de $3600 \text{ s} / 1000 \text{ m}$). Ainsi, $15 \times 3,6 = 54$ km/h. La méthode pas à pas consiste à se dire que si le cheval parcourt $15$ mètres en $1$ seconde, il parcourt $15 \times 3600 = 54000$ mètres en une heure, soit $54$ km.

Analyse de la Question 3 : Optimisation des coûts (Proportionnalité)

Ici, on quitte la géométrie pure pour l'arithmétique. L'aire totale est donnée : $73027$ m². Le but est de trouver la marque de gazon la plus économique.

Raisonnement méthodique : Pour chaque marque, il faut d'abord déterminer le nombre de sacs nécessaires. Attention, on ne peut pas acheter une fraction de sac ! Il faut donc toujours arrondir à l'entier supérieur.

• Marque A : $73027 / 500 = 146,054$. Il faut donc $147$ sacs. Coût : $147 \times 141,95 = 20866,65$ €.
• Marque B : $73027 / 400 = 182,5675$. Il faut donc $183$ sacs. Coût : $183 \times 87,90 = 16085,70$ €.
• Marque C : $73027 / 300 \approx 243,42$. Il faut donc $244$ sacs. Coût : $244 \times 66,50 = 16226,00$ €.

En comparant les trois résultats, on conclut que la Marque B est la solution la moins coûteuse.

Les pièges classiques à éviter

Le premier piège est l'oubli de la conversion du temps. Diviser $1951$ par $2,09$ est une erreur fatale. Le deuxième piège réside dans l'arrondi du nombre de sacs. Si vous divisez $73027$ par $400$ et que vous gardez $182,56$ pour le calcul du prix, vous ignorez la réalité physique de l'achat en magasin. Enfin, soignez la rédaction : citez les formules utilisées et explicitez vos choix d'arrondis.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points, présentez vos calculs de manière aérée. Utilisez des titres pour chaque étape (ex: "Calcul du nombre de sacs pour la marque A"). N'oubliez pas l'unité dans votre phrase de conclusion. Le jury apprécie particulièrement la rigueur dans les conversions de vitesse, car elles démontrent une compréhension profonde des grandeurs composées.