Introduction aux notions du Brevet 2023

Cet exercice 1 de la session 2023 de Métropole est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est fréquent au Brevet de mathématiques car il permet de balayer une large partie du programme : arithmétique, agrandissement et réduction, calcul littéral, probabilités et transformations géométriques (homothétie). Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de maîtriser les définitions fondamentales et d'éviter les pièges classiques de lecture rapide.

Analyse Question 1 : Arithmétique et Diviseurs

La question demande de citer trois diviseurs de $84$. Un diviseur d'un nombre entier $n$ est un nombre qui divise $n$ avec un reste nul. Dans les propositions :
- Réponse A : 84, 168 et 252 sont des multiples de 84, pas des diviseurs (sauf 84 lui-même).
- Réponse B : 2, 3 et 4. On vérifie : $84 = 2 \times 42$, $84 = 3 \times 28$, $84 = 4 \times 21$. Les trois sont bien des diviseurs.
- Réponse C : 5 n'est pas un diviseur de 84 car 84 ne se termine pas par 0 ou 5.
Conseil : Rappelez-vous les critères de divisibilité (par 2 : nombre pair ; par 3 : somme des chiffres divisible par 3).

Analyse Question 2 : Volumes et Agrandissement

On nous indique un coefficient d'agrandissement $k = 2$. C'est une notion clé de géométrie dans l'espace. Si les longueurs sont multipliées par $k$, alors :
- Les aires sont multipliées par $k^2$.
- Les volumes sont multipliés par $k^3$.
Ici, pour obtenir le volume de la grande pyramide SABCD, il faut multiplier le volume de la petite SA'B'C'D' par $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. La réponse exacte est donc 8.

Analyse Question 3 : Calcul Littéral et Priorités

Il s'agit d'évaluer l'expression $x^2 + 3x - 5$ pour $x = -2$. L'erreur classique réside dans la gestion des signes négatifs. Décomposons le calcul :
1. $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ (le carré d'un nombre est toujours positif).
2. $3 \times (-2) = -6$.
3. L'expression devient : $4 + (-6) - 5 = 4 - 6 - 5 = -2 - 5 = -7$.
Piège : Ne pas oublier les parenthèses autour du nombre négatif lors de l'élévation au carré sur la calculatrice.

Analyse Question 4 : Probabilités et Multiples

Dans un sac de 8 boules (1 à 8), on cherche la probabilité de tirer un multiple de 2. Les issues favorables sont {2, 4, 6, 8}, soit 4 issues. Le nombre total d'issues est 8. La probabilité est donc de $\frac{4}{8}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{2}$. C'est un calcul de probabilité simple en situation d'équiprobabilité.

Analyse Question 5 : L'homothétie et son rapport

Une homothétie de centre O transforme un triangle ABC en DEF. On observe deux choses :
1. Les points D, E, F sont de l'autre côté du centre O par rapport à A, B, C. Cela signifie que le rapport $k$ est négatif.
2. Le triangle DEF semble plus grand. En mesurant ou observant les unités, on constate que les longueurs ont été doublées. Le rapport est donc $-2$.
Mémo : Si $k > 1$, c'est un agrandissement. Si $0 < k < 1$, une réduction. Si $k$ est négatif, la figure subit un demi-tour par rapport au centre.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Même si aucune justification n'est demandée dans un QCM, utilisez votre brouillon pour poser chaque calcul. Recopiez soigneusement le numéro de la question et la lettre choisie. Une erreur de signe ou une confusion entre aire ($k^2$) et volume ($k^3$) est vite arrivée !