Introduction aux notions du Brevet 2023

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2023 (Etrangers) est un modèle du genre. Il mobilise quatre piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : les programmes de calculs, l'utilisation d'un tableur, le calcul littéral et la résolution d'équations. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'une suite d'instructions à une expression algébrique, tout en utilisant des outils numériques pour conjecturer des résultats. La maîtrise de ces notions est cruciale car elles représentent souvent entre 15 et 20 points sur l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première question est une phase d'appropriation. Elle demande de tester les programmes avec une valeur numérique donnée ($6$). Pour Amir : $(6 - 5) \times 2 = 1 \times 2 = 2$. Pour Sonia : $(6 + 3) \times 6 - 16 = 9 \times 6 - 16 = 54 - 16 = 38$. Cette étape est essentielle pour vérifier que vous avez bien compris la priorité des opérations, notamment l'usage des parenthèses dans le programme d'Amir.

Maîtrise du Tableur (Question 2)

La question sur le tableur est un classique. Dans la cellule B2, on cherche à traduire le programme d'Amir. La formule doit impérativement commencer par le signe $=$. Comme le nombre de départ se trouve en cellule B1, la structure logique est `=(B1-5)*2`. Les deux autres propositions sont fausses car l'une utilise une valeur fixe ($-2$) ce qui empêche l'étirement de la formule, et l'autre oublie les parenthèses, appliquant la priorité à la multiplication (`B1 - 5 * 2`), ce qui ne respecte pas l'énoncé. Ensuite, la lecture du tableau permet d'identifier que pour la valeur $x = 2$, les deux programmes affichent $-6$. C'est une résolution par lecture graphique/tabulaire.

Le Passage au Calcul Littéral (Question 3)

C'est ici que l'exercice gagne en densité. On passe de l'arithmétique à l'algèbre en utilisant la variable $x$. Pour le programme de Sonia, l'expression se construit ainsi : $(x + 3) \times x - 16$. En développant cette expression via la distributivité simple, on obtient $x \times x + 3 \times x - 16$, soit $x^2 + 3x - 16$. Cette démonstration est fondamentale pour prouver la validité de l'expression fournie dans l'énoncé.

Résolution d'Équations et Équation Produit Nul

La dernière partie introduit l'équation $(x - 2)(x + 3) = 0$. C'est une équation produit nul. Un principe mathématique de 3ème stipule qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc deux équations du premier degré : $x - 2 = 0$ (soit $x = 2$) et $x + 3 = 0$ (soit $x = -3$). Cela nous permet de conclure qu'il existe deux nombres pour lesquels les programmes donnent le même résultat : $2$ et $-3$. Notez que la valeur $2$ avait déjà été identifiée grâce au tableur, ce qui permet de s'auto-corriger.

Les Pièges à Éviter

1. Les Parenthèses : Dans le programme d'Amir, multiplier le résultat de la soustraction implique des parenthèses. Sans elles, seule la constante est multipliée.
2. Le signe de l'équation : Lors de la résolution de $x + 3 = 0$, n'oubliez pas que le terme change de signe en passant de l'autre côté de l'égalité ($x = -3$).
3. Syntaxe Tableur : Ne confondez jamais le nom de la cellule (B1) avec le contenu de la cellule ($-2$). Une formule de tableur doit être universelle pour pouvoir être étirée.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de calcul. Même si l'énoncé indique "aucune justification n'est attendue" pour certaines questions, sur votre brouillon, faites-les. Pour la résolution d'équation, citez explicitement la propriété : "Si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul". Cela montre au correcteur que vous ne devinez pas le résultat mais que vous appliquez un théorème précis. Enfin, encadrez vos résultats finaux et n'oubliez pas de répondre par une phrase complète reprenant les termes de la question.