Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2023 (Zone Amérique du Nord) est un concentré de géométrie plane. Il mobilise cinq compétences fondamentales du cycle 4 : le théorème de Pythagore (et sa réciproque), le théorème de Thalès, la trigonométrie dans le triangle rectangle, la notion de triangles semblables et enfin le calcul d'aires et de proportions. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à articuler plusieurs propriétés géométriques au sein d'une figure complexe où les triangles sont imbriqués. Les points AN=13 cm, LN=5 cm, AL=12 cm et ON=3 cm constituent la base de toutes les démonstrations à venir.

Analyse méthodique : Question par question

1. Démontrer qu'un triangle est rectangle : La réciproque de Pythagore

Pour montrer que le triangle LNA est rectangle en L, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. C'est un classique des épreuves de mathématiques. Le raisonnement doit être structuré : d'une part, on identifie le côté le plus long (le potentiel hypoténuse), ici [AN]. On calcule son carré : $AN^2 = 13^2 = 169$. D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $LN^2 + AL^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. On constate que $AN^2 = LN^2 + AL^2$. Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est bien rectangle en L. Conseil pédagogique : Ne dites pas 'D'après Pythagore' mais bien 'D'après la réciproque', c'est ce qui valide votre rigueur scientifique.

2. Calcul de longueur et parallélisme : Thalès ou proportionnalité

La question demande de calculer OH. En observant la figure, on note que le segment [OH] est perpendiculaire à [LN] (indiqué par le codage de l'angle droit). Or, nous venons de prouver que (AL) est aussi perpendiculaire à (LN). Propriété de 6ème/5ème : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Ainsi, (OH) // (AL). Nous sommes dans une configuration de Thalès (triangles imbriqués ONH et LNA). On applique l'égalité des rapports : $ON/LN = OH/AL = NH/NA$. En utilisant $3/5 = OH/12$, un produit en croix nous donne $OH = (12 \times 3) / 5 = 36 / 5 = 7,2$ cm.

3. Maîtriser la trigonométrie : Le choix du cosinus

Pour calculer l'angle $\widehat{LNA}$, on se place dans le triangle LNA rectangle en L. Nous connaissons les trois côtés, nous avons donc l'embarras du choix entre le cosinus, le sinus ou la tangente. Utilisons le cosinus : $\cos(\widehat{LNA}) = \text{Adjacent} / \text{Hypoténuse} = LN / AN = 5 / 13$. À l'aide de la calculatrice (touche Arccos ou $cos^{-1}$), on trouve environ $67,38^\circ$. L'énoncé demande une valeur approchée à l'unité, la réponse attendue est donc $67^\circ$.

4. Les triangles semblables : Une approche par les angles

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux. Ici, les triangles LNA et ONH partagent l'angle $\widehat{N}$. De plus, ils possèdent tous deux un angle droit ($\widehat{L}$ et $\widehat{O}$). Puisque la somme des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$, le troisième angle est nécessairement identique. Par conséquent, LNA et ONH sont semblables. On aurait aussi pu évoquer la proportionnalité des côtés démontrée à la question 2 avec Thalès.

5. Aires et proportions : Synthèse finale

L'aire d'un triangle rectangle se calcule par $(base \times hauteur) / 2$. Aire(LNA) = $(12 \times 5) / 2 = 30$ $cm^2$. Pour l'aire du quadrilatère LOHA, il faut soustraire l'aire du petit triangle ONH de celle du grand triangle LNA. Aire(ONH) = $(3 \times 7,2) / 2 = 10,8$ $cm^2$. Donc, Aire(LOHA) = $30 - 10,8 = 19,2$ $cm^2$. Pour la proportion, on établit le rapport : $19,2 / 30 = 0,64$, soit $64\%$.

Les pièges à éviter lors de l'examen

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de prouver le parallélisme avant d'utiliser le théorème de Thalès. Même si cela semble évident sur le dessin, le correcteur attend une justification théorique (les deux perpendiculaires). Un autre piège réside dans l'arrondi de l'angle : vérifiez toujours si l'on vous demande l'unité, le dixième ou le centième. Enfin, pour les aires, ne confondez pas périmètre et surface, et n'oubliez jamais de diviser par 2 dans la formule du triangle.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Utilisez des connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Citez précisément les noms des théorèmes utilisés. Encadrez vos résultats finaux et n'oubliez jamais les unités ($cm$ pour les longueurs, $cm^2$ pour les aires, degrés pour les angles). Une copie propre et structurée permet au correcteur de suivre votre raisonnement et d'attribuer des points même si une erreur de calcul s'est glissée dans le développement.