Introduction : L'Arithmétique, Pilier du Brevet des Collèges
L'arithmétique est une discipline fondamentale des mathématiques qui revient quasi-systématiquement lors de l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB). L'exercice 2 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2023 en est une illustration parfaite. Il place l'élève dans un contexte de gestion de production agricole où les notions de décomposition en facteurs premiers, de plus grand commun diviseur (PGCD) et de division euclidienne sont indispensables. Comprendre ces concepts ne sert pas seulement à obtenir des points, mais à structurer un raisonnement logique pour résoudre des problèmes de partage équitable.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous présente José, un agriculteur devant répartir ses récoltes (39 salades, 78 carottes, 51 aubergines) de manière identique dans des paniers. La première indication cruciale est la décomposition de $39 = 3 \times 13$. Cette aide suggère que le nombre de paniers sera un diviseur commun à tous les légumes.
Étape 1 : La Décomposition en Facteurs Premiers
La question 1.a demande de décomposer 78 et 51. Pour $78$, on observe qu'il est pair : $78 = 2 \times 39$. On réutilise ensuite la décomposition de 39 fournie : $78 = 2 \times 3 \times 13$. Pour $51$, la somme des chiffres ($5+1=6$) est un multiple de 3, donc 51 est divisible par 3. On trouve $51 = 3 \times 17$. Ces décompositions sont les briques élémentaires des nombres. Elles permettent de visualiser instantanément les diviseurs communs.
Étape 2 : Optimisation et Répartition (PGCD)
La question 1.b porte sur le nombre maximal de paniers. Pour que la composition soit identique et que tous les légumes soient utilisés, le nombre de paniers doit être un diviseur commun à 39, 78 et 51. En examinant nos décompositions :
- $39 = 3 \times 13$
- $78 = 2 \times 3 \times 13$
- $51 = 3 \times 17$
Le seul facteur commun à ces trois nombres est $3$. Ainsi, le PGCD de 39, 78 et 51 est 3. José peut préparer au maximum 3 paniers. Dans chaque panier (Question 1.c), il y aura $39/3 = 13$ salades, $78/3 = 26$ carottes et $51/3 = 17$ aubergines.
Étape 3 : Gestion des Restes et Division Euclidienne
Dans la seconde partie, José change de stratégie et décide de préparer 13 paniers. Ici, on utilise la division euclidienne pour l'aubergine. Nous avons 51 aubergines pour 13 paniers. En effectuant la division : $51 = 13 \times 3 + 12$. Cela signifie que chaque panier contiendra 3 aubergines, mais il en restera 12 sur les bras de José. Pour pouvoir utiliser toutes les aubergines avec 13 paniers, il lui manque une aubergine ($13 - 12 = 1$) afin d'atteindre le multiple suivant de 13, qui est $13 \times 4 = 52$.
Étape 4 : Recherche de Multiples pour les Tomates
La dernière question demande de trouver un nombre de tomates compris entre 110 et 125 qui soit divisible par 13 (pour que chaque panier ait la même quantité). Listons les multiples de 13 : $13 \times 8 = 104$ (trop petit), $13 \times 9 = 117$ (dans l'intervalle), $13 \times 10 = 130$ (trop grand). Le nombre maximal de tomates à cueillir est donc 117. Chaque panier contiendra alors $117 / 13 = 9$ tomates.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente est de confondre les critères de divisibilité ou de s'arrêter à une décomposition incomplète. Par exemple, oublier que 17 est un nombre premier. Un autre piège réside dans la lecture de la consigne pour les tomates : on demande le nombre "au maximum" dans une fourchette donnée. Il ne faut pas choisir n'importe quel nombre entre 110 et 125, mais bien un multiple du nombre de paniers choisi (13).
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir tous les points, soignez la présentation. Commencez par citer la méthode : "Je décompose les nombres en produits de facteurs premiers". Pour la recherche de paniers, utilisez le terme "diviseur commun". Pour la question sur les restes, posez clairement l'égalité de la division euclidienne ($D = d \times q + r$). Enfin, n'oubliez jamais de conclure par une phrase réponse reprenant l'unité (ex : "Il doit cueillir 1 aubergine supplémentaire"). La rigueur est votre meilleure alliée face au correcteur.