Introduction aux notions du Brevet 2025

Cet exercice inaugural du sujet Étrangers 2025 constitue une excellente synthèse du programme de mathématiques de 3ème. Présenté sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM), il balaie cinq domaines fondamentaux : l'arithmétique, l'usage du tableur, les transformations géométriques (homothétie), le calcul littéral (factorisation) et la trigonométrie. La particularité de cet exercice réside dans l'absence de justification demandée, ce qui exige une rigueur absolue dans le raisonnement au brouillon pour éviter les pièges classiques.

Analyse Question 1 : Arithmétique et Facteurs Premiers

La question porte sur la décomposition en produit de facteurs premiers de $120$. Pour rappel, un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. La méthode consiste à diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles ($2, 3, 5, 7, 11...$).

Analysons les options : la réponse A ($2 \times 3 \times 4 \times 5$) est incorrecte car 4 n'est pas un nombre premier. La réponse B ($15 \times 2 \times 2 \times 2$) échoue car 15 est composé ($3 \times 5$). La réponse D est une somme et non un produit. La décomposition correcte est $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$, soit $2^3 \times 3 \times 5$. C'est une compétence clé pour simplifier des fractions ou trouver des diviseurs communs.

Analyse Question 2 : Logique du Tableur

Ici, on teste la compréhension des références relatives dans un tableur. La formule en A2 est $=-4 * A1 - 12$. Lorsqu'on étire cette formule vers la droite (en B2), la référence à la cellule $A1$ devient $B1$.

Le calcul à effectuer pour la cellule B2 est donc : $-4 \times (\text{valeur de B1}) - 12$. En observant le tableau, $B1 = 5$. Le calcul devient $-4 \times 5 - 12 = -20 - 12 = -32$. L'erreur fréquente consiste à ne pas modifier la cellule source lors de l'étirement ou à faire une erreur de signe lors de l'addition de nombres négatifs.

Analyse Question 3 : Homothétie et Rapport de Transformation

L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe appelé centre. Le rapport $k$ détermine l'échelle. Si $k > 1$ ou $k < -1$, c'est un agrandissement. Si le centre O, le point initial et son image sont alignés dans cet ordre, le rapport est positif.

Sur la figure, le carré B est une image du carré A par l'homothétie de centre O. En observant la grille, on constate que la distance entre O et les sommets du carré B est deux fois supérieure à celle entre O et les sommets du carré A. Les deux figures étant du même côté par rapport au centre O, le rapport est positif. Le rapport est donc $2$. Si la figure avait été de l'autre côté du point O, le rapport aurait été négatif.

Analyse Question 4 : Factorisation et Identités Remarquables

La question demande de factoriser $4x^2 - 1$. C'est une application directe de la troisième identité remarquable : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Ici, nous identifions $a^2 = 4x^2$, ce qui signifie que $a = 2x$. De même, $b^2 = 1$, donc $b = 1$. En appliquant la formule, on obtient immédiatement $(2x - 1)(2x + 1)$. La réponse B est un piège classique où l'on oublie de prendre la racine carrée du coefficient de $x^2$. La maîtrise du calcul littéral est indispensable pour la résolution d'équations-produits nuls plus tard dans l'année.

Analyse Question 5 : Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans le triangle TER, nous cherchons la longueur de l'hypoténuse $RE$. Nous connaissons l'angle $\widehat{E} = 39^\circ$ et le côté adjacent $TE = 7,4$ cm. La formule trigonométrique reliant l'adjacent et l'hypoténuse est le cosinus : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

On pose : $\cos(39^\circ) = \frac{TE}{RE} = \frac{7,4}{RE}$. Pour trouver $RE$, on effectue le calcul $RE = \frac{7,4}{\cos(39^\circ)}$. En utilisant la calculatrice en mode Degrés, on trouve environ $9,522...$, ce qui, arrondi au centième, donne $9,52$ cm. Attention à ne pas confondre avec le sinus ou la tangente, et vérifiez toujours que l'hypoténuse est le côté le plus long.

Conseils de Rédaction et Pièges à éviter

Pour réussir ce type d'exercice au Brevet : 1. Lisez attentivement la consigne (une seule réponse exacte). 2. Ne perdez pas de temps à rédiger sur la copie, mais soignez vos calculs au brouillon. 3. Pour la trigonométrie, assurez-vous que votre calculatrice affiche 'D' ou 'DEG'. 4. En arithmétique, apprenez par cœur la liste des nombres premiers jusqu'à 30 ($2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$). 5. Pour le tableur, visualisez toujours le 'déplacement' des cellules.