Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet 2025

L'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges 2025, notamment le sujet tombé en Asie, met l'accent sur la polyvalence en géométrie plane. Cet exercice 2 est un condensé de quatre compétences majeures du cycle 4 : le théorème de Pythagore, le calcul d'aires, le théorème de Thalès et la notion de triangles semblables. La maîtrise de ces outils est indispensable pour quiconque souhaite obtenir une mention. L'énoncé nous place dans une configuration géométrique complexe mêlant des triangles rectangles et des droites parallèles, exigeant une lecture attentive de la figure et des données chiffrées : $CD = 21,6$ cm, $CE = 29,1$ cm et $FC = 17,2$ cm.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Maîtriser le théorème de Pythagore pour le calcul de DE

Pour montrer que la longueur $DE$ est égale à $19,5$ cm, le raisonnement doit être limpide. L'énoncé précise que le triangle $CDE$ est rectangle en $D$. C'est la condition sine qua non pour appliquer le théorème de Pythagore. L'hypoténuse est le côté $[CE]$. Selon le théorème, nous avons l'égalité : $CE^2 = CD^2 + DE^2$. En isolant le côté manquant, on obtient $DE^2 = CE^2 - CD^2$. En remplaçant par les valeurs : $DE^2 = 29,1^2 - 21,6^2 = 846,81 - 466,56 = 380,25$. La racine carrée de $380,25$ nous donne bien $19,5$. Conseil du professeur : N'oubliez jamais d'écrire la phrase d'introduction citant le triangle et l'angle droit pour justifier l'usage du théorème.

2. Calcul de l'aire du triangle CDE

L'aire d'un triangle rectangle est simple à calculer puisqu'elle correspond à la moitié de l'aire d'un rectangle. La formule est $(\text{base} \times \text{hauteur}) / 2$, soit ici $(CD \times DE) / 2$. En effectuant le calcul : $(21,6 \times 19,5) / 2 = 210,6 \text{ cm}^2$. Cette étape est cruciale car elle servira de base de comparaison pour la suite de l'exercice, notamment pour l'analyse des triangles semblables.

3. L'application du théorème de Thalès en configuration papillon

La question demande de calculer $GF$. Les points $G, C, E$ et $F, C, D$ sont alignés, et les droites $(GF)$ et $(DE)$ sont parallèles. Nous sommes dans une configuration dite "en papillon" du théorème de Thalès. Le rapport de proportionnalité s'écrit : $CG/CE = CF/CD = GF/DE$. Pour trouver $GF$, on utilise l'égalité $CF/CD = GF/DE$, ce qui donne $17,2 / 21,6 = GF / 19,5$. Par un produit en croix, $GF = (17,2 \times 19,5) / 21,6 \approx 15,537$. L'énoncé demande un arrondi au millimètre, soit un chiffre après la virgule : $GF \approx 15,5$ cm.

4. Triangles semblables et rapport d'agrandissement-réduction

L'introduction d'un nouveau triangle $ABC$ d'aire $23,4 \text{ cm}^2$ introduit la notion de rapport de réduction. En comparant les aires : $23,4 / 210,6 = 1/9$. Cela montre que l'aire de $ABC$ est 9 fois plus petite que celle de $CDE$. Puisque les triangles sont semblables, les longueurs sont proportionnelles. Si le rapport des aires est $k^2 = 1/9$, alors le rapport des longueurs $k$ est $\sqrt{1/9} = 1/3$. Pour trouver $AB$, qui correspond au côté homologue $DE$ (car $ABC$ et $EDC$ sont semblables), on multiplie $DE$ par ce rapport : $AB = 19,5 \times 1/3 = 6,5$ cm.

Les Pièges classiques à éviter

Plusieurs erreurs peuvent coûter des points. Premièrement, confondre le rapport des aires et le rapport des longueurs : rappelez-vous que si les longueurs sont multipliées par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$. Deuxièmement, les erreurs d'arrondi : l'énoncé demande le millimètre, ne donnez pas le résultat au centimètre près. Enfin, veillez à ne pas inverser les rapports dans Thalès (mélanger les segments du petit triangle avec ceux du grand).

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

La rédaction est aussi importante que le résultat. Utilisez des connecteurs logiques : "On sait que...", "Or, d'après le théorème de...", "Donc...". Pour les triangles semblables, listez clairement les sommets homologues. Une copie propre, avec les unités (cm et cm²) systématiquement indiquées, rassure le correcteur sur votre rigueur mathématique.