Introduction aux notions du Brevet 2025

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques de la zone Métropole 2025 est un classique incontournable du Diplôme National du Brevet (DNB). Il mobilise trois compétences fondamentales du cycle 4 : le calcul numérique simple, la gestion des durées (souvent sources d'erreurs dues au système sexagésimal) et l'introduction aux probabilités. Cet exercice utilise un contexte concret, celui d'une playlist de musique, pour tester la capacité de l'élève à extraire des informations d'un énoncé et à les traiter mathématiquement. Comprendre ces concepts est essentiel pour assurer une base de points solide dès le début de l'épreuve.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul du nombre de berceuses (Arithmétique simple)

La première question demande de déterminer un effectif manquant. L'énoncé précise qu'Aurélie a sélectionné un total de $22$ chansons. On connaît le nombre de chants de Noël ($9$) et le nombre de comptines ($6$). Le raisonnement repose sur une soustraction des parties au tout : $22 - (9 + 6)$. L'élève doit d'abord sommer les catégories connues ($15$) puis calculer la différence. On trouve ainsi $7$ berceuses. Cette étape, bien que simple, nécessite une lecture attentive pour ne pas oublier l'une des catégories mentionnées.

2. Maîtrise des durées : Le piège de la moyenne

La question 2 porte sur la durée moyenne d'une chanson. La formule est classique : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Durée Totale}}{\text{Effectif Total}}$. Ici, $\frac{55}{22}$. Le calcul donne $2,5$. Attention : L'erreur fatale serait d'écrire $2$ minutes et $5$ secondes ou $2$ minutes et $50$ secondes. En mathématiques, $2,5$ minutes signifie $2$ minutes pleines plus $0,5$ minute. Comme une minute contient $60$ secondes, $0,5 \times 60 = 30$. La réponse attendue est donc $2$ minutes et $30$ secondes. Ce passage de la forme décimale à la forme sexagésimale est un attendu majeur du programme de 3ème.

3. Probabilités : Équiprobabilité et Évènements

La partie sur les probabilités teste la compréhension de la fonction 'aléatoire'. Dans un univers où chaque chanson a la même chance d'être choisie, on utilise la formule de Laplace : $P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$.

• Question 3.a : Il y a $6$ comptines sur $22$ chansons. La probabilité est donc $\frac{6}{22}$. Pour montrer qu'elle est égale à $\frac{3}{11}$, il suffit de simplifier la fraction par $2$. La rédaction doit mentionner la simplification.
• Question 3.b : L'évènement 'ne pas être une berceuse' peut se calculer de deux façons. Soit on additionne les chants de Noël et les comptines ($9 + 6 = 15$), soit on utilise l'évènement contraire $1 - P(\text{berceuse})$. On obtient $\frac{15}{22}$.
• Question 3.c : C'est la question de réflexion du sujet. Il faut lister les nombres premiers entre $1$ et $22$. Rappel : $1$ n'est pas premier. La liste est : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$. On compte $8$ issues favorables. La probabilité est $\frac{8}{22} \approx 0,363$. On compare à $\frac{1}{3} \approx 0,333$. Comme $0,363 > 0,333$, la probabilité est bien supérieure à $\frac{1}{3}$.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est l'oubli de la conversion des unités de temps. De nombreux élèves confondent la virgule décimale avec le séparateur des secondes. Le deuxième piège réside dans la définition des nombres premiers. Il est crucial de se rappeler que le nombre $1$ n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. Enfin, pour la comparaison de fractions, il est souvent plus sûr de réduire au même dénominateur (ici $66$) ou de passer par la forme décimale approchée pour justifier proprement.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, ne donnez jamais un résultat brut. Pour la question 2, écrivez explicitement le calcul de la division puis le détail de la conversion ($0,5 \times 60$). Pour les probabilités, citez la règle utilisée. Une phrase telle que 'Il y a équiprobabilité car le tirage est aléatoire' valorise votre copie. Enfin, soignez la présentation des fractions et soulignez vos résultats finaux. La clarté de la démonstration pour les nombres premiers est déterminante pour la note de cette question.