Introduction aux fondamentaux du Brevet 2025

L'exercice 2 du sujet de Polynésie 2025 est une synthèse magistrale des compétences géométriques attendues en fin de cycle 4. Il mobilise des notions clés telles que le théorème de Pythagore, la trigonométrie, le théorème de Thalès et la gestion des grandeurs composées. Cet exercice, ancré dans un contexte concret (un jardin botanique), permet d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'un modèle géométrique abstrait à une application réelle.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de longueur simple et alignement

La première question demande de calculer la longueur du segment $[DB]$. Ici, l'élève doit simplement repérer que les points $D, E$ et $B$ sont alignés (puisque les segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $E$). La relation est additive : $DB = DE + EB$. Avec $DE = 750$ m et $BE = 250$ m, on obtient $DB = 1000$ m. C'est une mise en jambe pour vérifier la lecture de l'énoncé.

2. Application du Théorème de Pythagore dans ABD

Dans le triangle $ABD$ rectangle en $A$, on cherche la longueur du côté $[AD]$. L'hypoténuse est $[DB]$. Selon l'égalité de Pythagore : $DB^2 = AB^2 + AD^2$. En isolant le côté recherché : $AD^2 = DB^2 - AB^2$. Soit $AD^2 = 1000^2 - 500^2 = 1\,000\,000 - 250\,000 = 750\,000$. La racine carrée de $750\,000$ est environ $866,025$. L'arrondi au mètre près donne bien $866$ m. Conseil : Toujours préciser que le triangle est rectangle avant d'énoncer le théorème.

3. Trigonométrie : Sinus et mesure d'angle

La question 3 introduit la trigonométrie. Dans le triangle $ABE$, si l'on considère l'angle $\widehat{EAB}$, nous utilisons la formule du sinus (SOH) : $\sin(\widehat{EAB}) = \frac{Côté \, Opposé}{Hypoténuse} = \frac{BE}{AB}$. En remplaçant par les valeurs : $\sin(\widehat{EAB}) = \frac{250}{500} = 0,5$. Pour trouver la mesure de l'angle, on utilise la fonction $Arcsin$ (ou $\sin^{-1}$) sur la calculatrice, ce qui donne $\widehat{EAB} = 30^\circ$. C'est une valeur remarquable que les élèves croisent souvent.

4. Parallélisme et Théorème de Thalès

Pour démontrer que $(AB) // (DC)$, on observe que les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(AD)$ (d'après les symboles d'angle droit sur la figure). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Cette justification est cruciale pour utiliser ensuite le théorème de Thalès en configuration 'papillon'. Les rapports d'agrandissement/réduction sont : $\frac{EB}{ED} = \frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD}$. En utilisant $\frac{250}{750} = \frac{500}{CD}$, on trouve par produit en croix que $CD = \frac{500 \times 750}{250} = 1500$ m.

5. Vitesse moyenne et périmètre (Grandeurs composées)

La dernière étape demande de calculer le périmètre total du jardin $ABCD$. $P = AB + BC + CD + DA = 500 + 1323 + 1500 + 866 = 4189$ m. Le piéton marche à $1,1$ m/s. Le temps nécessaire est $t = \frac{d}{v} = \frac{4189}{1,1} \approx 3808$ secondes. Sachant qu'une heure contient $3600$ secondes, le temps mis ($3808$ s) est supérieur à une heure ($3600$ s). La réponse est donc négative.

Les Pièges à Éviter

• L'unité : Vérifiez bien que toutes les longueurs sont en mètres avant de calculer le périmètre.
• La rédaction de Pythagore : N'oubliez pas de citer l'hypoténuse.
• La conversion de temps : Beaucoup d'élèves pensent qu'une heure fait 100 minutes. Rappelez-vous toujours du système sexagésimal ($1h = 3600s$).
• L'arrondi : Respectez strictement la consigne d'arrondi (au mètre près ou au degré près).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses : 1. Ce que je sais (les données), 2. La propriété utilisée (ex: Propriété de Thalès), 3. Le calcul détaillé, 4. La phrase de conclusion avec l'unité. Un correcteur apprécie une copie où les théorèmes sont nommés clairement et où les étapes de calcul sont visibles.