Introduction : Les fonctions au service de l'économie réelle

Le sujet du Brevet 2025, notamment l'exercice 5 de la zone Métropole, met l'accent sur une compétence fondamentale : la modélisation mathématique. Dans cet exercice, nous explorons comment les fonctions affines et linéaires permettent de comparer des offres financières réelles, comme l'achat ou la location d'un véhicule. L'enjeu pédagogique est triple : maîtriser le calcul numérique de base, comprendre la logique d'un tableur, et savoir interpréter une lecture graphique pour prendre une décision optimisée.

Les tags essentiels de cet exercice sont les fonctions, le tableur et la lecture graphique. Ce triptyque constitue le cœur du programme de mathématiques de 3ème. En 2025, les examinateurs attendent des élèves non seulement une précision de calcul, mais aussi une capacité à passer d'un registre de représentation à un autre (du texte au tableau, du tableau à la formule, et de la formule au graphique).

Analyse Méthodique de la Partie A : Arithmétique et Tableur

La première question demande de montrer que la dépense pour l'option Achat après un an est de 23 300 €. Pour réussir cette démonstration, l'élève doit identifier deux composantes : le coût fixe (l'achat) et le coût variable (l'assurance). Le raisonnement est le suivant : l'achat initial est de $22400$ € et l'assurance coûte $75$ € par mois. Sur un an (12 mois), l'assurance s'élève à $12 \times 75 = 900$ €. La somme totale est donc bien de $22400 + 900 = 23300$ €. Conseil pédagogique : Toujours détailler les étapes, car le résultat est déjà donné dans l'énoncé.

La deuxième question porte sur l'économie réalisée avec l'option Location après 36 mois. Ici, il faut comparer deux trajectoires financières. Pour l'Achat : $22400 + 36 \times 75 = 22400 + 2700 = 25100$ €. Pour la Location : $425 \times 36 = 15300$ €. L'économie est la différence entre les deux : $25100 - 15300 = 9800$ €. Ce calcul montre qu'à court terme, la location semble beaucoup plus avantageuse car elle n'implique pas le déboursement massif du prix d'achat initial.

La troisième question introduit l'outil tableur. On cherche une formule à saisir en B3 pour calculer la dépense en location. La cellule B1 contient le nombre de mois (12). Puisque le coût mensuel est de 425 €, la formule logique est =B1*425. Si l'on veut être rigoureux pour l'étirement de la formule, on peut utiliser des références relatives. Attention : ne pas écrire 12 directement dans la formule, car elle ne serait plus valable pour les colonnes suivantes (C3, D3, etc.). L'usage de la référence à la cellule B1 est impératif pour obtenir les points.

Analyse Méthodique de la Partie B : Modélisation et Graphique

Dans la partie B, on passe à l'abstraction mathématique. On définit $x$ comme le nombre de mois. On nous donne $g(x) = 425x$, ce qui est une fonction linéaire (droite passant par l'origine). La question 4 demande l'expression de $f(x)$ pour l'option Achat. C'est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$. Ici, $a$ est le taux mensuel (75) et $b$ est la dépense initiale (22400). On obtient donc $f(x) = 75x + 22400$. Comprendre cette structure est crucial : le coefficient directeur représente le coût récurrent, tandis que l'ordonnée à l'origine représente l'investissement de départ.

La dernière question sollicite la lecture graphique. On cherche à savoir quand l'option Achat devient préférable. Graphiquement, cela correspond au moment où la courbe $C_f$ (la droite la plus 'plate') passe en dessous de la courbe $C_g$ (la droite la plus 'pentue'). L'intersection se situe au point où $425x = 75x + 22400$, soit $350x = 22400$, ce qui donne $x = 64$. Sur le graphique, l'élève doit tracer des pointillés de l'intersection vers l'axe des abscisses pour lire la valeur 64. Ainsi, à partir de 64 mois (un peu plus de 5 ans), l'achat devient plus rentable que la location.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le premier piège est l'unité de temps. Ne confondez pas les années et les mois. Si l'énoncé parle de 36 mois, ne faites pas vos calculs sur 3 ans sans convertir ou adapter vos coefficients. Le deuxième piège réside dans la lecture du graphique : les axes ont souvent des échelles différentes. Ici, l'axe des ordonnées saute par paliers de 500 (ou 5000 selon la graduation), une erreur de lecture d'un petit carreau peut fausser le résultat de plusieurs centaines d'euros. Enfin, pour le tableur, n'oubliez jamais le signe `=` au début de votre formule, sans quoi elle ne sera pas considérée comme telle par le logiciel (ou le correcteur).

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points en 2025, soignez la présentation. Pour chaque calcul, écrivez la formule littérale avant de remplacer par les chiffres. Exemple : `Dépense = Prix Achat + (Mois × Assurance)`. Pour la lecture graphique, laissez apparaître vos traits de construction sur la copie (pointillés vers les axes) et faites une phrase de conclusion claire : 'Par lecture graphique, on observe que la droite $C_f$ est située en dessous de $C_g$ à partir de $x = 64$.' Cela prouve au correcteur que vous n'avez pas deviné la réponse mais que vous avez utilisé l'outil fourni.