Introduction aux Fonctions et à la Géométrie Dynamique

Cet exercice du Brevet 2013 de la zone Métropole est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques de 3ème. Il combine habilement la géométrie plane avec la notion de fonction. Ici, nous étudions comment l'aire d'un carré $MNPQ$ varie en fonction de la position d'un point $M$ sur le segment $[AB]$. C'est ce que l'on appelle une situation de géométrie dynamique. L'objectif principal pour l'élève est de démontrer sa capacité à extraire des informations précises d'une représentation graphique sans avoir recours au calcul algébrique complexe. Les fonctions sont ici utilisées comme un outil de modélisation du monde réel.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente un carré $ABCD$ de côté $4$ cm. Un point $M$ se déplace sur $[AB]$, ce qui définit une distance $AM$ variant de $0$ à $4$ cm. La courbe représentée est une parabole (une fonction du second degré), bien que cette appellation ne soit pas exigée au collège. Elle traduit l'évolution de l'aire $f(x)$ en fonction de la longueur $x = AM$.

Question 1 : Recherche d'antécédents (Aire = 10 cm²)

La première question demande de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $AM$, l'aire de $MNPQ$ est égale à $10$ cm². En langage mathématique, on vous demande de trouver les antécédents de 10 par la fonction représentée.
Méthode :
1. Repérez la valeur $10$ sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical qui représente l'aire).
2. Tracez mentalement (ou avec une règle) une ligne horizontale passant par l'ordonnée $10$.
3. Identifiez les points d'intersection entre cette ligne et la courbe bleue.
4. Redescendez verticalement vers l'axe des abscisses (l'axe horizontal) pour lire les valeurs de $AM$.
En observant le graphique, on constate que la ligne $y = 10$ coupe la courbe à deux endroits : pour $AM = 1$ cm et pour $AM = 3$ cm. Notez que la symétrie de la figure (le carré $MNPQ$ à l'intérieur de $ABCD$) explique mathématiquement cette double solution.

Question 2 : Lecture d'image (AM = 0,5 cm)

Ici, on procède à l'inverse : on connaît la valeur de l'abscisse et on cherche l'ordonnée correspondante. On cherche l'image de 0,5.
Méthode :
1. Placez-vous à la valeur $0,5$ sur l'axe des abscisses (entre $0$ et $1$).
2. Montez verticalement jusqu'à rencontrer la courbe.
3. Reportez ce point sur l'axe des ordonnées pour lire l'aire.
Sur le graphique, pour $AM = 0,5$, on lit une aire d'environ $12,5$ cm². Soyez très précis lors de la lecture, car même si la justification n'est pas attendue, l'exactitude de la valeur lue sur le quadrillage est primordiale.

Question 3 : Minimum de la fonction

Cette question porte sur l'extremum de la fonction. On cherche le point le plus bas de la courbe.
Méthode :
Le sommet de la parabole représente le minimum. Visuellement, le creux de la courbe se situe exactement au milieu du segment $[AB]$.
1. La valeur de $AM$ qui rend l'aire minimale est $x = 2$ cm.
2. En lisant l'ordonnée correspondante, on trouve une aire minimale de $8$ cm².
D'un point de vue géométrique, cela correspond au cas où $M$ est le milieu de $[AB]$. Le carré $MNPQ$ est alors inscrit de manière optimale pour occuper le moins d'espace possible.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice est l'inversion des axes. Rappelez-vous toujours que la variable (ce que l'on contrôle, ici la longueur $AM$) se trouve sur l'axe horizontal, tandis que le résultat (ce qui dépend de la variable, ici l'aire) se trouve sur l'axe vertical.
Un autre point de vigilance concerne les unités. L'aire est exprimée en cm² et la longueur en cm. Ne confondez pas les graduations : sur l'axe des ordonnées, un carreau représente souvent plus d'une unité (ici, l'échelle est de $1$ unité pour $2$ carreaux sur l'axe des ordonnées selon le tracé $0, 2, 4...18$).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si la consigne précise qu'aucune justification n'est attendue, il est recommandé de formuler vos réponses par des phrases complètes pour gagner en clarté. Par exemple : « Par lecture graphique, l'aire du carré est de 10 cm² lorsque la longueur AM est égale à 1 cm ou 3 cm ». Cela montre au correcteur que vous avez compris le sens de la question. En période de révision, entraînez-vous à refaire ce tracé sur papier millimétré pour bien maîtriser les projections orthogonales sur les axes.

Approfondissement : Le lien avec Pythagore

Pour les élèves souhaitant aller plus loin, on peut démontrer la fonction par le calcul. Si $AM = x$, alors dans le triangle $AMQ$ rectangle en $A$, on a $AQ = 4 - x$. D'après le théorème de Pythagore : $MQ^2 = AM^2 + AQ^2 = x^2 + (4-x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16$. L'aire de $MNPQ$ est donc $f(x) = 2x^2 - 8x + 16$. Si vous remplacez $x$ par $2$, vous trouvez $f(2) = 2(2^2) - 8(2) + 16 = 8 - 16 + 16 = 8$, ce qui confirme notre lecture graphique du minimum !