Introduction aux notions du Brevet : Tableur et Algèbre

L'exercice 4 du sujet de Pondichéry 2013 est un modèle du genre pour les élèves de troisième. Il combine trois piliers du programme de mathématiques : l'utilisation d'un tableur (outil numérique), le calcul littéral (manipulation d'expressions algébriques) et la résolution d'équations dans un contexte géométrique. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer de maîtriser la liaison entre une fonction, sa représentation dans un tableau et son application concrète à un problème d'aire. Le tableur n'est pas seulement un outil de calcul, c'est une aide à la conjecture et à la résolution de problèmes complexes.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente une feuille de calcul où la colonne A contient des valeurs de la variable $x$ et la colonne B calcule l'image de $x$ par l'expression $2x^2 - 3x - 9$.

Question 1 : Substitution et calcul d'image

La première question demande de trouver la valeur en B17 si A17 contient le nombre $6$. Ici, on teste votre capacité à effectuer un calcul de substitution. Il ne suffit pas de regarder le tableau, car le tableau s'arrête à $x = 5$. Il faut donc appliquer manuellement la formule saisie dans le tableur : $2x^2 - 3x - 9$. En remplaçant $x$ par $6$, nous obtenons $2 \times 6^2 - 3 \times 6 - 9 = 2 \times 36 - 18 - 9 = 72 - 18 - 9 = 45$. Cette étape montre que le tableur automatise simplement des calculs que l'on sait faire à la main. Conseil : Faites attention aux priorités opératoires, le carré s'applique uniquement à $x$.

Question 2 : Lecture inverse et résolution d'équation

On nous demande de trouver deux solutions de l'équation $2x^2 - 3x - 9 = 0$ à l'aide du tableur. C'est ce qu'on appelle une lecture inverse. Au lieu de chercher $x$ pour trouver le résultat, on cherche dans la colonne B où se trouvent les zéros ($0$). En observant attentivement la colonne B, on repère la valeur $0$ à deux endroits : à la ligne 3 et à la ligne 12. Les valeurs de $x$ correspondantes dans la colonne A sont $-1,5$ et $3$. Ainsi, les solutions de l'équation sont $x = -1,5$ et $x = 3$. Le tableur est ici un outil de visualisation puissant pour résoudre des équations du second degré sans passer par des méthodes de factorisation complexes.

Question 3 : Liaison Algèbre et Géométrie

C'est la partie la plus subtile de l'exercice. On donne un rectangle de dimensions $(2x + 3)$ et $(x - 3)$. On veut que son aire soit égale à $5$ cm². Rappelons que l'aire d'un rectangle se calcule par la formule $Longueur \times largeur$. L'aire est donc égale à $(2x + 3)(x - 3)$. En développant cette expression par la double distributivité, on obtient : $2x \times x + 2x \times (-3) + 3 \times x + 3 \times (-3) = 2x^2 - 6x + 3x - 9 = 2x^2 - 3x - 9$. On constate avec intérêt qu'il s'agit exactement de l'expression étudiée dans le tableur ! Pour trouver quand l'aire est égale à $5$, on cherche dans la colonne B la valeur $5$. On la trouve pour $x = -2$ et $x = 3,5$. Cependant, nous sommes dans un problème de géométrie. Une longueur doit être positive. Si $x = -2$, alors la largeur $(x - 3)$ devient $-2 - 3 = -5$, ce qui est physiquement impossible. La seule valeur acceptable est donc $x = 3,5$ cm. Justification : $(2 \times 3,5 + 3)(3,5 - 3) = (7 + 3)(0,5) = 10 \times 0,5 = 5$.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique réside dans la gestion des signes lors du développement de l'expression de l'aire. Un autre piège est l'oubli de la réalité géométrique : un résultat algébrique (comme $x = -2$) n'est pas toujours une solution valide pour un problème de longueur. Enfin, confondez pas la cellule (ex: A17) avec la valeur qu'elle contient. Répondez toujours clairement en citant les données du tableau pour montrer au correcteur que vous savez l'exploiter.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre justification en trois temps. 1. Énoncez la formule de l'aire. 2. Montrez le développement pour prouver que vous retrouvez l'expression du tableur. 3. Expliquez pourquoi vous choisissez $x = 3,5$ plutôt que $x = -2$ en évoquant l'impossibilité d'une longueur négative. Une rédaction claire et structurée est la clé du succès à l'épreuve de mathématiques.