Introduction aux notions de Volumes et d'Équations au Brevet
L'exercice 6 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2013 est un classique incontournable du Brevet des collèges. Il mobilise deux compétences majeures du programme de troisième : la maîtrise des volumes de solides usuels (pavé droit et pyramide) et la résolution d'équations du premier degré. Dans ce problème concret, un vendeur de produits de beauté cherche à harmoniser les volumes de deux contenants de formes différentes. Cette situation permet d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'un calcul numérique simple à une expression littérale, pour finir par une modélisation algébrique. Comprendre comment les dimensions spatiales interagissent est essentiel non seulement pour l'examen, mais aussi pour les applications réelles de l'ingénierie et du design de packaging.
Analyse Méthodique de l'Exercice
Question 1 : Calcul du volume du pavé moussant
Pour la première étape, il s'agit d'appliquer scrupuleusement la formule fournie dans l'énoncé. Le pavé moussant, ou parallélépipède rectangle, possède des dimensions clairement identifiées : une longueur de 20 cm, une largeur de 20 cm et une hauteur de 8 cm. Le calcul est direct : $V_{pavé} = 20 \times 20 \times 8$. La difficulté ici est purement arithmétique. $20 \times 20$ nous donne une aire de base de 400 cm², que l'on multiplie ensuite par la hauteur de 8 cm pour obtenir un volume total de 3200 cm³. Il est primordial de ne pas oublier l'unité de mesure, le centimètre cube (cm³), car une réponse sans unité est souvent pénalisée par les correcteurs du Brevet.
Question 2 : Expression littérale du volume de la pyramide
La deuxième question introduit la notion de calcul littéral, où l'on utilise une variable $h$ pour représenter une hauteur inconnue. On sait que la base de la pyramide est identique à celle du pavé, soit un carré de 20 cm de côté. L'aire de la base est donc $20 \times 20 = 400$ cm². En appliquant la formule du volume de la pyramide $V_{pyramide} = \frac{\text{aire de la base} \times h}{3}$, on obtient naturellement l'expression $\frac{400 \times h}{3}$. Cette étape est cruciale car elle prépare le terrain pour la mise en équation finale. L'énoncé demande de "montrer que", ce qui signifie que le résultat est donné : c'est une aide précieuse pour l'élève qui peut vérifier son raisonnement avant de poursuivre.
Question 3 : Résolution de l'équation pour l'égalité des volumes
L'objectif final est de trouver la valeur de $h$ telle que $V_{pavé} = V_{pyramide}$. Nous devons donc résoudre l'équation suivante : $3200 = \frac{400h}{3}$. Pour isoler $h$, la méthode la plus efficace consiste à multiplier les deux membres de l'équation par 3 pour éliminer le dénominateur, ce qui nous donne $3200 \times 3 = 400h$, soit $9600 = 400h$. Enfin, on divise 9600 par 400 pour obtenir la valeur de $h$. Le calcul $9600 / 400$ se simplifie en $96 / 4$, ce qui donne 24. La hauteur de la pyramide doit donc être de 24 cm pour que son volume soit égal à celui du pavé. On remarque ici une propriété géométrique intéressante : à base égale, une pyramide doit être trois fois plus haute qu'un pavé pour contenir le même volume.
Les Pièges à Éviter
Le premier piège classique réside dans l'oubli du facteur $1/3$ dans la formule du volume de la pyramide. Beaucoup d'élèves confondent encore le volume du prisme et celui de la pyramide. Un autre point de vigilance concerne les unités : assurez-vous que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici le cm) avant de commencer les calculs. Enfin, lors de la résolution de l'équation, attention aux erreurs de manipulation algébrique. Multiplier par 3 puis diviser par 400 est la procédure standard, mais certains élèves essaient parfois de diviser par 3, ce qui complique inutilement l'équation.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire les résultats numériques. Commencez chaque question en citant la formule utilisée. Par exemple : "D'après la formule du volume d'un pavé droit...". Présentez vos calculs de manière aérée et soulignez votre résultat final avec son unité. Dans la question 3, expliquez clairement votre démarche : "On cherche $h$ tel que $V_{pavé} = V_{pyramide}$ donc...". Une rédaction soignée montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement les mathématiques, mais aussi la logique argumentative nécessaire au lycée.
Pourquoi cet exercice est-il fondamental ?
La géométrie dans l'espace est une part importante du programme de 3ème. Elle demande une capacité de visualisation mentale que cet exercice aide à développer. En reliant cette géométrie à l'algèbre par le biais des équations, le sujet de 2013 illustre parfaitement l'interconnexion des différentes branches des mathématiques. Maîtriser ce type d'exercice garantit une base solide pour la classe de seconde, où les fonctions et les modélisations plus complexes prendront le relais.