Introduction aux Statistiques et Pourcentages au Brevet

L'exercice 2 du sujet de Pondichéry 2013 est un cas d'école pour tout élève de troisième préparant son Diplôme National du Brevet. Il mêle habilement les notions de statistiques descriptives et de calculs de pourcentages, le tout appliqué à un contexte concret : une expérience de SVT sur la germination du blé. Maîtriser ces outils est indispensable, car les statistiques représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final.

Analyse des Effectifs : La notion de 'au plus'

La première question demande de déterminer le nombre de plantules ayant une taille 'au plus' égale à 12 cm. En mathématiques, l'expression 'au plus' signifie 'inférieure ou égale à'. Pour répondre, l'élève doit extraire les données du tableau et sommer les effectifs correspondant aux tailles de 0 cm, 8 cm et 12 cm. On a ici : $1$ (pour 0 cm) + $2$ (pour 8 cm) + $2$ (pour 12 cm) = $5$ plantules. La lecture attentive du tableau est la clé de la réussite ici.

L'Étendue : Mesurer la dispersion des données

L'étendue est l'un des paramètres de position les plus simples à calculer, mais il est souvent oublié. Elle se définit comme la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série statistique. Dans cet exercice, la taille maximale relevée est de 22 cm et la taille minimale est de 0 cm. Le calcul est donc : $22 - 0 = 22$. Cela indique que l'écart maximal entre la plante la plus développée et celle qui n'a pas germé est de 22 cm.

La Moyenne Pondérée : Un calcul de précision

Calculer la moyenne d'une série avec effectifs (moyenne pondérée) demande de la rigueur. Il ne suffit pas d'additionner les tailles, il faut multiplier chaque taille par son effectif respectif avant de diviser par l'effectif total ($N = 29$). Le calcul se présente ainsi : $\frac{0 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 2 + 14 \times 4 + 16 \times 2 + 17 \times 2 + 18 \times 3 + 19 \times 3 + 20 \times 4 + 21 \times 4 + 22 \times 2}{29}$. En effectuant les calculs, on obtient une somme totale de 481. En divisant 481 par 29, on trouve environ 16,586. L'énoncé demande un arrondi au dixième, ce qui donne 16,6 cm.

La Médiane : Trouver le centre de la série

La médiane est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif. Puisque l'effectif total est de 29 (un nombre impair), la médiane correspond à la $\frac{29+1}{2} = 15$-ème valeur. En cumulant les effectifs dans le tableau ($1+2+2+4+2+2+3 = 16$), on s'aperçoit que la 15-ème valeur se situe dans la colonne correspondant à 18 cm. La médiane est donc 18 cm. Cela signifie qu'au moins 50% des plantules ont une taille inférieure ou égale à 18 cm, et au moins 50% ont une taille supérieure ou égale à 18 cm.

Application des Pourcentages en contexte expérimental

La question sur le respect du protocole introduit un seuil de réussite (taille $\ge 14$ cm). Il faut d'abord compter combien d'élèves ont obtenu ce résultat. On peut soit additionner les effectifs de 14 à 22 cm ($4+2+2+3+3+4+4+2 = 24$), soit soustraire de l'effectif total ceux qui ont échoué ($29 - 5 = 24$). Le pourcentage se calcule par le rapport : $\frac{24}{29} \times 100 \approx 82,8\%$. Une large majorité de la classe a donc suivi les instructions avec succès.

Propriétés de la Médiane et Ajout de Valeurs

La dernière question est une réflexion théorique. Si le professeur ajoute sa propre mesure, l'effectif total passe de 29 à 30. La nouvelle médiane sera la moyenne entre la 15-ème et la 16-ème valeur. Comme nous avons vu que la 15-ème et la 16-ème valeur de la série initiale sont toutes deux égales à 18 cm (puisque l'effectif cumulé atteint 16 à cette valeur), peu importe la taille de la plantule du professeur, la 15-ème et la 16-ème valeur resteront 18 cm (ou seront déplacées d'un rang mais resteront dans le même groupe de valeurs). Ainsi, la médiane reste stable à 18 cm.

Pièges classiques et Conseils de Rédaction

Attention à ne pas confondre la ligne des 'Tailles' et la ligne des 'Effectifs' lors de vos calculs de moyenne ou de médiane. Un piège fréquent est de calculer la médiane sur les valeurs distinctes (0, 8, 12...) sans tenir compte de combien de fois elles apparaissent. Pour la rédaction, précisez toujours vos formules (ex: $Max - Min$) et vos phrases de conclusion pour interpréter la médiane. N'oubliez jamais l'unité (cm) dans vos réponses finales pour ne pas perdre de points bêtement.