Introduction aux notions de Géométrie du Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet de Polynésie 2013 est un cas d'école extrêmement formateur pour les élèves de 3ème. Il combine avec finesse plusieurs compétences clés du cycle 4 : la modélisation géométrique, l'utilisation du théorème de Thalès et la prise d'initiatives. Dans cette situation concrète, nous suivons Teiki qui, à l'aide d'un simple bâton, tente de déterminer la hauteur d'un Pinus. Ce type de problème, dit de « visée », est un grand classique des épreuves de fin de collège car il demande à l'élève de passer d'un énoncé narratif et d'un schéma illustratif à un modèle mathématique rigoureux composé de triangles et de droites parallèles.

Analyse Méthodique de l'énoncé : La modélisation

La principale difficulté de cet exercice réside dans la prise d'initiative consistant à tracer une ligne horizontale passant par l'œil de Teiki. En effet, les triangles de Thalès ne sont pas directement posés au sol car l'œil de l'observateur est situé à $1,60$ m de hauteur.
Commençons par définir les points de notre figure :
1. Soit le point $O$ représentant l'œil de Teiki.
2. Soit le segment $[AB]$ représentant la partie du bâton au-dessus de la ligne d'horizon de l'œil.
3. Soit le segment $[CD]$ représentant la partie du Pinus au-dessus de cette même ligne.
Le bâton mesure $2$ m au total, mais comme l'œil est à $1,60$ m du sol, la hauteur utile pour Thalès sur le bâton est $2 - 1,60 = 0,40$ m. C'est ici que le calcul littéral et la soustraction de base deviennent cruciaux pour ne pas fausser tout le raisonnement ultérieur.

Application du Théorème de Thalès

Pour appliquer le théorème, il faut d'abord justifier que les droites sont parallèles. Puisque le bâton et le Pinus sont plantés verticalement, ils sont tous deux perpendiculaires au sol. Or, deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. Cette justification est indispensable pour obtenir l'intégralité des points.
Les données de distance au sol sont les suivantes :
- Distance œil-bâton : $1,2$ m.
- Distance bâton-Pinus : $12$ m.
- Distance totale œil-Pinus : $1,2 + 12 = 13,2$ m.
En appliquant l'égalité de Thalès dans les triangles emboîtés, nous obtenons le rapport suivant :
$$\frac{1,2}{13,2} = \frac{0,4}{h'}$$ où $h'$ est la hauteur du Pinus située au-dessus de l'œil. Grâce au produit en croix, nous calculons : $h' = \frac{13,2 \times 0,4}{1,2}$. En simplifiant, on trouve $h' = 4,4$ m.

Les Pièges à éviter le jour J

Le piège le plus fréquent dans cet exercice est l'oubli de la hauteur de l'œil. Beaucoup d'élèves effectuent le calcul de Thalès avec la valeur $2$ m au lieu de $0,40$ m, ou oublient de rajouter les $1,60$ m à la fin.
Attention : La question finale porte sur la hauteur totale du Pinus au-dessus du sol. Il ne faut donc pas s'arrêter au résultat de Thalès. La hauteur totale $H$ est donnée par : $H = h' + 1,60$. Soit $H = 4,4 + 1,6 = 6$ mètres.
Un autre piège concerne les unités. Ici, toutes les données sont en mètres ($m$), mais restez vigilants si l'énoncé mélangeait centimètres et mètres. La cohérence des unités est le socle de tout calcul scientifique réussi.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour séduire le correcteur, structurez votre réponse en trois étapes claires :
1. La figure simplifiée : N'hésitez pas à refaire un schéma en nommant les sommets des triangles (A, B, C, D, E). Cela clarifie votre pensée.
2. La justification : Citez nommément le théorème de Thalès et prouvez le parallélisme. « Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont verticales, donc parallèles... ».
3. La conclusion : Encadrez votre résultat final et vérifiez sa vraisemblance. Un arbre de $6$ mètres est une mesure cohérente dans la réalité. Si vous trouviez $0,6$ m ou $600$ m, vous sauriez immédiatement qu'une erreur de virgule ou de raisonnement s'est glissée dans votre copie.