Introduction aux fondamentaux du Brevet des Collèges

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2013 pour la zone Étrangers est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie une large partie du programme de troisième. On y retrouve des notions essentielles comme le calcul littéral, la résolution d'équations-produit, le traitement des inéquations, ainsi qu'une approche de la géométrie dans l'espace (volumes et sections de solides). Le format QCM ne doit pas être pris à la légère : bien qu'aucune justification ne soit demandée, la rigueur mathématique est indispensable pour éviter les pièges classiques tendus par les concepteurs du sujet.

Analyse détaillée du Calcul Littéral et des Équations

La première question porte sur une équation-produit nul de la forme $(x+7)(2x - 7)= 0$. C'est un classique du Brevet. La règle fondamentale à appliquer est la suivante : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On est donc ramené à résoudre deux équations du premier degré : $x + 7 = 0$ (qui donne $x = -7$) et $2x - 7 = 0$ (soit $2x = 7$, d'où $x = 3,5$). L'erreur courante ici est de confondre les signes lors de la transposition des termes.

La deuxième question concerne une inéquation : $-2(x + 7) \leqslant -16$. Le point de vigilance absolue ici est le changement de sens de l'inégalité. En divisant ou en multipliant par un nombre négatif (ici $-2$), l'ordre est inversé. En développant, on obtient $-2x - 14 \leqslant -16$, ce qui mène à $-2x \leqslant -2$. En divisant par $-2$, on obtient $x \geqslant 1$. Il faut être capable de traduire cette solution sous forme de phrase : tous les nombres supérieurs ou égaux à 1.

Les questions 3 et 4 testent la maîtrise des identités remarquables. Pour le développement de $(7x - 5)^2$, on utilise $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Le piège réside souvent dans l'oubli du double produit $2 \times 7x \times 5 = 70x$. Pour la factorisation de $9 - 64x^2$, on reconnaît la forme $a^2 - b^2$ avec $a=3$ et $b=8x$, ce qui donne $(3 - 8x)(3 + 8x)$.

Géométrie dans l'espace et Volumes

La question 5 aborde le concept de réduction et d'agrandissement appliqué aux volumes. Lorsqu'on réduit les dimensions d'un solide par un rapport $k$, le volume est multiplié par $k^3$. Ici, le liquide atteint la moitié de la hauteur ($k = 1/2$). Le volume du liquide est donc $(1/2)^3 = 1/8$ du volume total du cône. Comme $1/8$ est bien inférieur à $1/2$, le liquide remplit beaucoup moins que la moitié du verre. C'est un raisonnement contre-intuitif mais mathématiquement imparable.

Enfin, la question 6 traite de la section d'un cube par un plan parallèle à une arête. Dans un cube, toute section par un plan parallèle à une arête est un rectangle. Ici, le plan passe par des points spécifiques créant une inclinaison, mais comme il reste parallèle à l'arête [AE] ou [BF], la face ainsi créée conserve des angles droits par rapport aux bases, formant ainsi un rectangle.

Les Pièges à éviter le jour J

Dans un QCM, les distracteurs (mauvaises réponses) ne sont pas choisis au hasard. Par exemple, pour l'inéquation, la réponse A propose "inférieurs ou égaux" pour piéger l'élève qui oublierait d'inverser le signe. Pour l'identité remarquable, la réponse A propose le carré des termes sans le double produit. Pour réussir, effectuez toujours le calcul au brouillon avant de regarder les propositions. Ne vous fiez pas à votre intuition visuelle pour la géométrie, utilisez les propriétés apprises en cours.

Conseils de Rédaction et Méthodologie

Bien que cet exercice ne demande pas de justification, il est recommandé de noter brièvement le calcul au brouillon pour s'assurer de sa cohérence. Sur la copie, soyez extrêmement précis : indiquez clairement le numéro de la question et la lettre de la réponse. Si vous hésitez, procédez par élimination. Par exemple, à la question 1, si vous remplacez $x$ par $7$ dans $(x+7)$, vous obtenez 14, donc le produit ne peut pas être nul, ce qui élimine d'office la réponse B.