Introduction aux Solides de l'Espace : Volumes et Aires

L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques 2013 (Zone Polynésie) constitue un cas d'école fondamental pour tout élève de troisième. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer des formules, mais de comparer des structures géométriques complexes dans un contexte de vie réelle : l'optimisation des ressources pour la fabrication de conteneurs à déchets. Les notions de Volumes, Aires et périmètres sont ici mobilisées pour répondre à une problématique économique. Maîtriser ce chapitre est crucial car il apparaît dans pratiquement chaque sujet de brevet sous forme de problème concret.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente deux modèles de conteneurs : le modèle A (un pavé droit) et le modèle B (un composite de cylindre et de deux demi-sphères). L'objectif est double : comparer leur capacité de stockage (le volume) et leur coût de fabrication (lié à l'aire latérale).

Question 1 : Comparaison des Volumes

Raisonnement pour le Conteneur A : Le volume d'un pavé droit se calcule par la formule $V = L \times l \times h$. Ici, la base est carrée ($1 \text{m} \times 1 \text{m}$) et la hauteur est de $2 \text{m}$. Le calcul est immédiat : $1 \times 1 \times 2 = 2 \text{m}^3$.

Raisonnement pour le Conteneur B : Ce solide est plus complexe. Il faut sommer le volume du cylindre central et celui des deux demi-sphères (ce qui équivaut à une sphère complète).
1. Pour la sphère : $V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \pi r^3$ avec $r = 0,58 \text{m}$.
2. Pour le cylindre : $V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h$ avec $r = 0,58 \text{m}$ et $h = 1,15 \text{m}$.
En effectuant les calculs, on trouve un volume total $V_B \approx 2,03 \text{m}^3$. On constate que $2 \approx 2,03$, ce qui valide l'affirmation de l'énoncé.

Question 2 : Étude de la rentabilité (Aires)

La question du coût de fabrication dépend de la quantité de matériau utilisé, donc de l'aire totale des faces des conteneurs.

Aire du Conteneur A : Le pavé possède 6 faces. Deux bases de $1 \text{m}^2$ chacune et quatre faces latérales de $2 \text{m}^2$ ($1 \text{m} \times 2 \text{m}$). L'aire totale est donc $2 \times 1 + 4 \times 2 = 10 \text{m}^2$.

Aire du Conteneur B : L'aire est composée de l'aire d'une sphère complète ($4 \pi r^2$) et de l'aire latérale du cylindre ($2 \pi r h$). En remplaçant par les valeurs $r = 0,58$ et $h = 1,15$, le calcul donne environ $8,4 \text{m}^2$.

Les Pièges à Éviter

1. La confusion des formules : Ne confondez pas l'aire d'un disque (base du cylindre) avec l'aire d'une sphère ou l'aire latérale.
2. Les arrondis précoces : Effectuez tous vos calculs avec la précision maximale de votre calculatrice et n'arrondissez qu'à la toute fin.
3. Les unités : Assurez-vous que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici le mètre) avant de commencer.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez explicitement la formule littérale avant d'injecter les chiffres.
- Précisez l'unité de mesure dans votre phrase de conclusion (mètres carrés pour l'aire, mètres cubes pour le volume).
- Pour la question qualitative sur les avantages du modèle A (pavé droit), mentionnez la stabilité au sol et la facilité de rangement/stockage par rapport à la forme arrondie du modèle B.

Optimisation Économique

Le point final de l'exercice demande de choisir le modèle le plus économique. Puisque le volume est quasiment identique mais que l'aire du modèle B ($8,4 \text{m}^2$) est inférieure à celle du modèle A ($10 \text{m}^2$), le modèle B nécessite moins de matière première. C'est donc le choix le plus rentable. C'est une application directe de l'optimisation géométrique que l'on retrouve dans l'industrie du packaging (canettes, boîtes de conserve).