Introduction aux notions de l'exercice : Calcul Numérique et Analyse

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2013 pour les centres étrangers, est un modèle de ce que l'épreuve de mathématiques exige aujourd'hui : la capacité à extraire des informations d'un texte documentaire et à les traiter via un outil mathématique complexe. Ici, le thème principal est le calcul numérique, plus précisément l'application d'une formule incluant une racine carrée, des quotients et des produits. Les tags Calcul numérique et Recherche d'informations soulignent l'importance de ne pas se précipiter sur les calculs sans avoir parfaitement compris les contraintes logiques de l'énoncé.

Analyse Méthodique : Extraction des données et conversion

La première difficulté de cet exercice réside dans la lecture attentive des consignes de posologie. L'énoncé précise que pour les enfants de 12 mois à 17 ans, la dose doit être calculée selon la surface corporelle, mais avec une limite supérieure stricte de 70 mg par jour. Cette condition est cruciale pour la validité de la réponse. De plus, la formule de Mosteller exige que la taille soit exprimée en centimètres (cm) alors que le tableau fournit les tailles en mètres (m). La conversion est donc la première étape indispensable pour éviter l'erreur de calcul immédiate. Rappelons que pour Lou, $1,05$ m devient $105$ cm, et pour Joé, $1,50$ m devient $150$ cm.

Décryptage de la Question 1 : Le cas de Joé et le piège de la dose maximale

Pour savoir si la posologie a été respectée pour Joé, nous devons d'abord calculer sa surface corporelle. En utilisant la formule de Mosteller : $Surface = \sqrt{\frac{150 \times 50}{3600}}$. En effectuant le calcul, on obtient $\sqrt{\frac{7500}{3600}}$, ce qui équivaut à $\sqrt{2,0833...}$, soit environ $1,44$ m². Si l'on applique la règle de la dose de charge de $70$ mg par m², le calcul théorique serait de $70 \times 1,44 = 100,8$ mg. Cependant, l'énoncé contient une contrainte de garde-fou : 'sans dépasser 70 mg par jour'. Puisque Joé a reçu $100$ mg, la posologie n'a pas été respectée car elle dépasse le plafond de $70$ mg autorisé, peu importe sa surface corporelle. Ce type de question teste la vigilance de l'élève face aux informations contradictoires entre le calcul brut et la règle logique.

Décryptage de la Question 2 : Vérification de la surface de Lou

La question 2 demande de vérifier que la surface corporelle de Lou est d'environ $0,71$ m². C'est une question de 'vérification' qui permet à l'élève de s'auto-évaluer avant la dernière question. On applique à nouveau la formule : $Surface = \sqrt{\frac{105 \times 17,5}{3600}}$. On commence par le produit au numérateur : $105 \times 17,5 = 1837,5$. On divise ensuite par $3600$, ce qui donne environ $0,510416$. Enfin, l'extraction de la racine carrée de ce résultat nous donne environ $0,7144$, ce qui s'arrondit bien à $0,71$ m². La réussite de cette étape repose sur la bonne manipulation de la calculatrice, notamment l'utilisation correcte de la touche racine sur une fraction.

Décryptage de la Question 3 : Analyse de la posologie de Lou

Pour Lou, la surface est de $0,71$ m². La dose théorique est de $70 \text{ mg} \times 0,71 \text{ m}^2 = 49,7$ mg. L'énoncé indique que Lou a reçu $50$ mg. Dans le contexte médical et mathématique du Brevet, une différence de $0,3$ mg est considérée comme négligeable, d'autant plus que l'énoncé utilisait le terme 'environ' pour la surface. On peut donc conclure que la posologie de Lou a été respectée, car la dose administrée correspond au calcul théorique (arrondi) et ne dépasse pas la limite maximale de $70$ mg par jour. Il est important ici de bien justifier en montrant le calcul de la dose théorique et la comparaison avec la dose réelle.

Les pièges classiques à éviter au Brevet

Le piège majeur dans ce type d'exercice est l'oubli des unités ou la mauvaise conversion. Si l'élève utilise $1,50$ m au lieu de $150$ cm dans la racine carrée, le résultat sera aberrant, mais l'élève pourrait ne pas s'en rendre compte s'il ne questionne pas la cohérence de sa réponse. Un autre piège est l'omission de la phrase entre parenthèses '(sans dépasser 70 mg par jour)', qui est la clé de la question 1. En mathématiques appliquées, la lecture des parenthèses et des conditions restrictives est aussi importante que le calcul lui-même. Enfin, veillez à ne pas arrondir trop tôt dans vos calculs intermédiaires pour garder une précision maximale sous la racine.

Conseil de rédaction pour l'épreuve de mathématiques

Pour obtenir le maximum de points, notamment avec la mention 'toute trace de recherche sera prise en compte', vous devez détailler chaque étape. Écrivez la formule littérale, remplacez par les valeurs numériques avec les unités, puis donnez le résultat intermédiaire avant la racine carrée. Même si votre résultat final est faux à cause d'une erreur de calcul, l'examinateur pourra vous attribuer des points pour la méthode et la conversion des unités. Pour les questions de justification (questions 1 et 3), finissez toujours par une phrase de conclusion claire : 'La posologie a été / n'a pas été respectée car...'. La clarté de l'argumentation est aussi valorisée que la justesse du chiffre.