Introduction aux notions d'aires et de périmètres en 3ème
La géométrie plane occupe une place prépondérante dans le programme de mathématiques de classe de troisième. L'exercice 8 du sujet du Brevet 2013 pour la zone Amérique du Nord se concentre sur une figure géométrique parfois moins pratiquée que le triangle ou le rectangle : le trapèze. Maîtriser le calcul d'aires n'est pas seulement une exigence scolaire pour obtenir son diplôme, c'est aussi une compétence fondamentale pour appréhender les mesures d'espace dans la vie quotidienne et dans de nombreux métiers techniques.
Analyse de la Figure : Identifier les éléments du trapèze
Dans cet exercice, nous avons un trapèze ABCD. Pour bien commencer, il est crucial d'identifier ses caractéristiques à partir des données LaTeX fournies. Les bases d'un trapèze sont ses deux côtés parallèles. Ici, les segments [AB] et [DC] sont les bases. D'après les coordonnées implicites et les annotations de la figure :
- La grande base $B$ (le segment [DC]) mesure $7$ cm.
- La petite base $b$ (le segment [AB]) se calcule par la différence des positions horizontales, soit $3$ cm (visuellement $4 - 1$).
- La hauteur $h$ est indiquée par les pointillés et le codage de l'angle droit, elle mesure $3$ cm.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Le calcul numérique
La question 1 se divise en deux étapes : la méthode et l'application.
a. La Méthode : Si l'élève ne connaît pas la formule par cœur, il peut proposer une décomposition. Le trapèze peut être vu comme la réunion d'un rectangle central et de deux triangles rectangles sur les côtés. Cependant, la méthode la plus directe reste l'application de la formule standard de l'aire d'un trapèze.
b. Le Calcul : En utilisant les valeurs $B = 7$, $b = 3$ et $h = 3$, on effectue l'opération suivante : $((7 + 3) \times 3) / 2$. On commence par l'addition entre parenthèses ($10$), on multiplie par la hauteur ($30$), puis on divise par $2$ pour obtenir $15$ cm².
Analyse de la Question 2 : Choix et justification de la formule
La seconde partie de l'exercice demande de faire preuve de discernement théorique. On propose trois formules :
1. $A = \frac{(b \cdot B)h}{2}$ : Cette formule est fausse car elle utilise le produit des bases au lieu de leur somme.
2. $A = \frac{(b + B)h}{2}$ : C'est la formule correcte. Elle correspond à la moyenne des bases multipliée par la hauteur.
3. $A = 2(b + B)h$ : Cette formule est incorrecte et donnerait un résultat bien trop grand.
Pour justifier le choix, l'élève doit expliquer que l'aire d'un trapèze est proportionnelle à sa hauteur et à la moyenne de ses bases, ce qui permet de compenser l'inclinaison des côtés non parallèles.
Les Pièges à éviter en Géométrie au Brevet
Il existe plusieurs erreurs classiques sur ce type d'exercice :
- L'oubli des parenthèses : Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la somme des bases sur la calculatrice entraîne un résultat erroné (priorité opératoire).
- Confusion entre aire et périmètre : Le périmètre est le contour (somme des côtés), tandis que l'aire est la surface intérieure.
- Les unités : Toujours préciser l'unité finale ($cm^2$ pour une aire) sous peine de perdre des points précieux sur la rédaction.
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir la note maximale, ne vous contentez pas de donner le résultat.
1. Citez explicitement la formule utilisée en utilisant les lettres de l'énoncé.
2. Remplacez les lettres par les valeurs numériques dans une nouvelle ligne.
3. Présentez le résultat final clairement souligné ou encadré.
4. N'oubliez pas la phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée. La clarté de votre copie est le premier indicateur de votre compréhension pour le correcteur.