Introduction aux Pourcentages et à la Modélisation de la Pollution

L'exercice 3 du sujet du Brevet de Polynesie 2013 porte sur une thématique environnementale cruciale : la prolifération des déchets plastiques dans l'Océan Pacifique. D'un point de vue mathématique, cet exercice mobilise les notions de pourcentages, de proportionnalité et de suites géométriques (même si le terme n'est pas explicitement cité en classe de 3ème). Comprendre comment une quantité évolue lorsqu'elle augmente d'un pourcentage fixe est une compétence fondamentale du programme de mathématiques de 3ème. Nous allons ici analyser comment calculer une superficie à partir d'un rapport de grandeur et comment déterminer l'impact d'une augmentation annuelle constante sur une période de quatre ans. Cet exercice est particulièrement intéressant car il confronte l'élève à une affirmation erronée courante : croire qu'une augmentation de 10% par an pendant 4 ans revient à une augmentation totale de 40%.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Le sujet nous donne une base de comparaison : la superficie de la France, notée \(\np{550000}\) km². Cette valeur est la référence pour la première question.

Question 1 : Calcul de la superficie de la 'poubelle géante'

Pour répondre à la première question, il s'agit de traduire mathématiquement l'expression « 6 fois la France ». L'énoncé nous indique que la superficie de la France est d'environ \(\np{550000}\) km². Le calcul à effectuer est une simple multiplication : \(S = 6 \times \np{550000}\). Le raisonnement doit être clairement exposé sur la copie. Le résultat obtenu est \(\np{3300000}\) km². Il est essentiel de ne pas oublier l'unité (km²) pour obtenir l'intégralité des points. Ce résultat servira de base pour l'analyse de l'évolution temporelle dans la suite de l'exercice.

Question 2 et 3 : Évolution et pourcentages cumulés

L'affirmation à tester est la suivante : « dans 4 ans, la superficie de cette poubelle aura doublé ». Pour cela, nous devons appliquer une augmentation de 10% chaque année. L'erreur classique à éviter ici est d'additionner les pourcentages (10% + 10% + 10% + 10% = 40%). En mathématiques, une augmentation de 10% correspond à multiplier la valeur initiale par un coefficient multiplicateur.

Le coefficient multiplicateur \(k\) se calcule ainsi : \(k = 1 + \frac{10}{100} = 1,1\). Chaque année, la superficie est multipliée par \(1,1\). Pour une période de 4 ans, nous devons appliquer ce coefficient quatre fois de suite. Le calcul devient donc : \(Valeur\_Finale = Valeur\_Initiale \times 1,1 \times 1,1 \times 1,1 \times 1,1\), ce qui revient à écrire \(Valeur\_Finale = Valeur\_Initiale \times 1,1^4\).

Calculons la valeur du coefficient global sur 4 ans : \(1,1^4 = 1,4641\). Cela signifie que la superficie aura augmenté de 46,41% et non de 100%. Pour que la superficie double, il aurait fallu que le coefficient global soit égal ou supérieur à 2. Or, \(1,4641 < 2\). L'affirmation est donc fausse. On peut aussi effectuer le calcul étape par étape à partir de la valeur de \(\np{3300000}\) km², mais l'utilisation des puissances est beaucoup plus élégante et rapide.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le piège majeur dans ce type d'exercice de 3ème réside dans la confusion entre l'évolution linéaire (additionner 10% de la valeur de départ chaque année) et l'évolution exponentielle ou composée (calculer 10% de la nouvelle valeur chaque année). Au Brevet, rappelez-vous que lorsqu'un taux d'évolution est donné par an, il s'applique toujours à la valeur de l'année précédente. Un autre piège est l'absence d'unités ou une mauvaise manipulation des grands nombres (les puissances de 10 peuvent être utiles ici pour simplifier les écritures : \(5,5 \times 10^5\)). Enfin, veillez à bien lire l'énoncé : on vous demande de justifier. Une réponse 'Vrai' ou 'Faux' sans calcul ou sans explication sur le coefficient multiplicateur ne rapportera aucun point.

Conseils pour la Rédaction le Jour du Brevet

Pour maximiser vos points, structurez votre réponse :
1. Commencez par citer les données de l'énoncé : 'On sait que la superficie de la France est \(\np{550000}\) km²'.
2. Posez clairement l'opération : 'La superficie de la poubelle est \(6 \times \np{550000} = \np{3300000}\)'.
3. Pour la question sur l'évolution, introduisez la notion de coefficient multiplicateur : 'Augmenter de 10% revient à multiplier par 1,1'.
4. Montrez le calcul de la puissance : 'Sur 4 ans, le coefficient est \(1,1^4 = 1,4641\)'.
5. Concluez par une phrase explicite : 'Comme \(1,4641\) est inférieur à 2, la superficie n'a pas doublé. L'affirmation est donc fausse'.
Une rédaction propre et rigoureuse rassure le correcteur et prouve votre maîtrise du sujet.