Introduction aux notions de probabilités et de géométrie

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2013 (Zone Nouvelle-Calédonie) est une excellente synthèse des compétences attendues en fin de cycle 4. Il combine deux piliers du programme de troisième : les probabilités simples et conditionnelles d'une part, et le calcul d'aires dans le plan d'autre part. L'utilisation d'un contexte concret (une carte de pizzeria) permet d'évaluer la capacité de l'élève à extraire des données d'un tableau et à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques. Nous allons aborder ici la notion d'univers des possibles, d'événements indépendants et la comparaison de grandeurs géométriques.

Analyse Méthodique de l'exercice

L'exercice est structuré en quatre questions qui montent progressivement en complexité. Pour réussir, il faut d'abord bien lire la 'carte' du restaurant qui constitue notre échantillon de données.

1. Calcul de probabilité simple

La première question demande la probabilité de choisir une pizza contenant des champignons. Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est égale au rapport : (Nombre d'issues favorables) / (Nombre total d'issues). Ici, l'univers $\Omega$ est composé des 5 variétés de pizzas (Classique, Montagnarde, Lagon, Broussarde, Plage). En observant la liste des ingrédients, on identifie que les champignons sont présents dans la Classique, la Montagnarde et la Broussarde. Il y a donc 3 issues favorables. La probabilité est donc de $3/5$, soit $0,6$ ou $60\%$.

2. Probabilité conditionnelle (Restriction de l'univers)

La question 2 introduit une restriction : on sait déjà que la pizza est à base de crème. L'univers n'est plus de 5 pizzas, mais de 3 (Montagnarde, Lagon, Broussarde). C'est ce qu'on appelle une probabilité conditionnelle 'naturelle'. Parmi ces 3 pizzas à la crème, seule la Montagnarde contient du jambon. La probabilité d'avoir du jambon sachant que la pizza est à la crème est donc de $1/3$.

3. Indépendance et arbre des possibles

Ici, on compose une pizza avec deux moitiés indépendantes. Pour avoir des champignons sur 'toute' la pizza, il faut que la première moitié ET la seconde moitié soient choisies parmi les variétés contenant des champignons. Puisque le choix de chaque moitié est indépendant, on multiplie les probabilités. En utilisant l'arbre des possibles ou le calcul direct : $P = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$. En écriture décimale, cela donne $0,36$. C'est une application directe de la règle du produit pour les expériences à deux étapes.

4. Comparaison d'aires : Le piège du diamètre

Cette question de géométrie est un grand classique. On compare l'aire de deux disques de 30 cm de diamètre avec l'aire d'un disque de 44 cm de diamètre. Rappelons la formule de l'aire d'un disque : $\mathcal{A} = \pi \times r^2$. Attention, il faut utiliser le rayon ($r = D/2$).
Pour les deux pizzas moyennes : $r = 15$ cm. L'aire d'une pizza est $\pi \times 15^2 = 225\pi$. Pour deux pizzas, on a $450\pi \approx 1413,7 \text{ cm}^2$.
Pour la grande pizza : $r = 22$ cm. L'aire est $\pi \times 22^2 = 484\pi \approx 1520,5 \text{ cm}^2$.
Conclusion : $484\pi > 450\pi$, on a donc plus à manger avec une seule grande pizza qu'avec deux moyennes. Le résultat est souvent contre-intuitif pour les élèves qui pensent que $30+30 > 44$.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'oubli de la conversion du diamètre en rayon. Calculer $\pi \times 30^2$ au lieu de $\pi \times 15^2$ est une erreur fréquente qui fausse totalement le rapport de grandeur. Le second piège réside dans la lecture de la question 2 : il ne faut pas diviser par 5 (le total des pizzas) mais bien par 3 (le total des pizzas à la crème). Enfin, dans la question 3, veillez à bien comprendre que 'sur toute la pizza' signifie que l'événement 'champignon' doit se réaliser sur les deux moitiés simultanément.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, explicitez vos calculs. Pour les probabilités, commencez par une phrase comme : 'Il y a équiprobabilité car on choisit au hasard'. Présentez vos résultats sous forme de fractions simplifiées ou de nombres décimaux. Pour la géométrie, citez la formule de l'aire avant d'effectuer l'application numérique. N'oubliez pas les unités (cm²) et terminez par une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée (ex: 'On aura plus à manger avec une grande pizza car $1520,5 > 1413,7$'). Une rédaction structurée montre au correcteur que le raisonnement est maîtrisé, au-delà du simple résultat numérique.