Introduction aux configurations de Thalès au Brevet
L'exercice 5 du sujet de Brevet 2013 en Nouvelle-Calédonie est un cas d'école pour l'application du théorème de Thalès dans un contexte concret de la vie quotidienne : la sécurité routière et les angles morts d'un véhicule. Pour réussir ce type d'exercice, il est essentiel de savoir modéliser une situation réelle par une figure géométrique plane composée de triangles emboîtés. Nous allons voir comment transformer un problème de visibilité d'un conducteur en une suite de rapports de longueurs mathématiques rigoureux. Cet exercice mobilise non seulement des compétences de calcul pur, mais aussi une capacité d'interprétation critique des résultats.
Rappel des fondamentaux : Le théorème de Thalès
Pour appliquer le théorème de Thalès, trois conditions non négociables doivent être vérifiées et citées dans votre copie pour obtenir la totalité des points. Premièrement, vous devez identifier deux droites sécantes (ici, les droites $(CE)$ et $(CA)$ qui se coupent en $C$). Deuxièmement, vous devez repérer deux points appartenant à chacune de ces droites ($D$ sur $(CE)$ et $B$ sur $(CA)$). Enfin, et c'est l'élément déclencheur, vous devez avoir la présence de deux droites parallèles. Ici, l'énoncé précise explicitement que $(AE) // (BD)$. Sans cette mention, l'utilisation du théorème est impossible. Le théorème nous permet alors d'affirmer l'égalité des trois rapports suivants : $\frac{CD}{CE} = \frac{CB}{CA} = \frac{BD}{AE}$.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Calcul de DC
Dans cette première étape, l'objectif est d'isoler la longueur $DC$. En observant les données de l'énoncé, nous connaissons $AE = 1,50$ m, $BD = 1,10$ m et $EC = 6$ m. En utilisant le rapport de Thalès $\frac{CD}{CE} = \frac{BD}{AE}$, nous pouvons isoler l'inconnue $CD$. En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons $\frac{CD}{6} = \frac{1,10}{1,50}$. Par un produit en croix classique, on calcule : $CD = \frac{6 \times 1,10}{1,50} = \frac{6,6}{1,5} = 4,4$. La longueur $DC$ est donc de $4,4$ mètres. Cette valeur représente la distance entre le point de contact visuel au sol et le point situé sous l'obstacle (ici, la limite de la vision du conducteur).
Analyse Méthodique de la Question 2 : Déduction de ED
La question demande d'en déduire que $ED = 1,60$ m. Le terme 'en déduire' est un indicateur fort : vous devez utiliser le résultat précédent. On sait que les points $E, D, C$ sont alignés dans cet ordre sur le sol. Par conséquent, la distance totale $EC$ est la somme des segments $ED$ et $DC$. On a donc la relation $EC = ED + DC$. En isolant $ED$, on obtient $ED = EC - DC$. Avec les données $EC = 6$ m et notre résultat $DC = 4,4$ m, le calcul est simple : $ED = 6 - 4,4 = 1,6$. Nous avons bien prouvé que la distance $ED$ est de $1,60$ mètre. Cette distance correspond à la partie du sol invisible directement derrière la camionnette.
Analyse Méthodique de la Question 3 : Problème de sécurité routière
C'est la question de réflexion qui différencie souvent les mentions au Brevet. Une fillette de $1,10$ m se trouve à $1,40$ m derrière la camionnette. Pour savoir si le conducteur peut la voir, il faut déterminer si la tête de la fillette dépasse la ligne de vision (le segment $[AC]$). La fillette est à $1,40$ m de la camionnette (point $E$), donc elle se situe au point $P$ tel que $EP = 1,40$ m. Sa distance par rapport au point $C$ est donc $PC = EC - EP = 6 - 1,40 = 4,60$ m. Calculons la hauteur maximale $h$ de la zone grisée à cette distance $PC$ en utilisant à nouveau Thalès : $\frac{h}{AE} = \frac{PC}{EC}$, soit $h = \frac{4,60 \times 1,50}{6} = 1,15$ m. La zone grisée à cet endroit monte jusqu'à $1,15$ m. Puisque la fillette mesure $1,10$ m, elle est entièrement contenue dans la zone d'ombre ($1,10 < 1,15$). Le conducteur ne peut donc pas la voir.
Les Pièges à éviter
Attention à la confusion entre les rapports ! Ne mélangez pas les petits côtés et les grands côtés. Gardez toujours la structure 'Petit Triangle / Grand Triangle' ou l'inverse, mais soyez cohérent. Une autre erreur fréquente consiste à oublier de mentionner que les points sont alignés. Enfin, faites attention aux unités : ici tout est en mètres, mais un sujet de Brevet pourrait mélanger centimètres et mètres pour tester votre vigilance sur les conversions.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour maximiser vos points, suivez cette structure : 1. Nommez les triangles et les droites parallèles. 2. Citez le nom du théorème (Thalès). 3. Écrivez l'égalité des trois rapports en lettres. 4. Remplacez par les chiffres et effectuez le produit en croix. 5. Concluez par une phrase avec l'unité correcte. Une rédaction claire montre à l'examinateur que vous ne faites pas que deviner le résultat, mais que vous maîtrisez la logique mathématique sous-jacente.