Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges de Polynésie 2013, est un cas d'école pour tester deux compétences majeures du socle commun : la prise d'initiatives et la proportionnalité. L'élève est projeté dans un contexte concret (la géographie des Tuamotu) où il doit naviguer entre plusieurs sources d'informations pour résoudre un problème de repérage spatial. Contrairement aux exercices de calcul pur, ici, la démarche est aussi importante que le résultat final. Le concept clé est l'utilisation de la vitesse moyenne constante pour lier le temps de vol à la distance géographique réelle, puis à la distance sur la carte.

Analyse Méthodique : La stratégie de résolution

Pour placer l'île d'Aratika avec précision, il faut suivre une démarche en quatre étapes logiques. L'énoncé nous donne une information capitale : tous les vols se font à la même vitesse moyenne. Cela signifie que la distance est proportionnelle au temps de vol.

Étape 1 : Calcul de la vitesse ou du coefficient de proportionnalité

En observant le Document 1 et le Document 2, nous avons un couple de données complet pour le trajet Tahiti-Rangiroa : Temps = 55 min et Distance = 355 km. On peut ainsi établir la relation de proportionnalité. Soit $v = \frac{d}{t}$. Ici, il est plus simple de garder le rapport $\frac{355}{55}$ pour éviter les erreurs d'arrondi précoces. On peut aussi dire que 1 minute de vol correspond à environ $6,45$ km (355 divisé par 55).

Étape 2 : Déterminer la distance réelle Tahiti-Aratika

Le Document 1 indique que le vol Tahiti-Aratika dure 1 h 15 min, ce qui équivaut à 75 minutes ($60 + 15$). Puisque la vitesse est constante, nous appliquons la règle de trois ou le coefficient trouvé précédemment : $d = \frac{355 \times 75}{55} \approx 484,1$ km. L'île d'Aratika se situe donc à environ 484 km de Tahiti.

Étape 3 : Déterminer l'échelle de la carte

C'est ici que la prise d'initiative est déterminante. Pour placer le point, il faut convertir ces distances réelles en distances 'papier' (ou unités sur le graphique). On utilise les coordonnées fournies dans la balise pspicture. Par exemple, Tahiti est au point $(8 ; 1,2)$ et Rangiroa au point $(12,1 ; 6,5)$. En utilisant le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre ces deux points sur le plan : $\sqrt{(12,1-8)^2 + (6,5-1,2)^2} = \sqrt{4,1^2 + 5,3^2} \approx 6,7$ unités. On sait que ces 6,7 unités représentent 355 km. L'échelle est donc d'environ 1 unité pour 53 km.

Étape 4 : La construction par triangulation

Maintenant, nous avons deux informations de positionnement pour Aratika :
1. Elle est à 484 km de Tahiti (soit environ $484 / 53 \approx 9,1$ unités sur le plan).
2. Elle est à 50 km de Fakarava (Document 2), soit environ $50 / 53 \approx 0,94$ unité sur le plan.
3. Elle est au NORD de Fakarava.
Il suffit alors d'utiliser un compas pour tracer deux arcs de cercle : l'un centré sur Tahiti de rayon 9,1 unités, l'autre centré sur Fakarava de rayon 0,94 unité. L'intersection située au nord de Fakarava marque l'emplacement précis d'Aratika.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'unité de temps. Il est impératif de convertir '1 h 15 min' en minutes uniquement (75 min) avant d'effectuer tout calcul de proportionnalité. Ne faites jamais de calcul avec '1,15' ! Le second piège est l'imprécision : dans un exercice de géographie sur carte, chaque millimètre compte. Enfin, n'oubliez pas d'utiliser l'information 'Au Nord de' pour choisir entre les deux points d'intersection possibles des cercles.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points (notamment sur la 'trace de recherche'), explicitez votre raisonnement : 'Je commence par calculer la distance réelle Tahiti-Aratika en utilisant la proportionnalité...'. Notez vos calculs, même s'ils semblent simples. Mentionnez l'utilisation du compas pour la construction finale. Le correcteur valorise la structure logique : Données extraites / Calcul de distance / Passage à l'échelle / Construction géométrique.