Introduction aux notions de volumes et de réduction

Cet exercice issu de la session 2013 du Brevet des Collèges (Zone Asie) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il traite de la géométrie dans l'espace, plus précisément du calcul de volume d'un solide complexe : le tronc de cône. Pour réussir cet exercice, il est impératif de maîtriser deux concepts clés : la formule du volume d'un cône de révolution et les propriétés d'agrandissement-réduction. Dans un contexte de vie quotidienne (la pâtisserie), l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques abstraits.

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première difficulté réside dans la compréhension de la figure. Un moule à muffin n'est pas un cône complet, mais un tronc de cône. Le sujet nous fournit les outils nécessaires : la formule du volume du cône complet ($V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$).

Question 1 : Calcul du volume de la cavité

Pour calculer le volume de la cavité, la méthode la plus rigoureuse consiste à soustraire le volume du petit cône (la partie manquante en bas) du volume du grand cône original.

Étape 1 : Identifier les dimensions du grand cône. La figure indique une hauteur totale de $12\text{ cm}$ et un diamètre de base de $7,5\text{ cm}$. Le rayon $R$ est donc de $3,75\text{ cm}$. Le volume du grand cône est : $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3,75^2 \times 12$.

Étape 2 : Identifier les dimensions du petit cône. La hauteur du moule est de $4\text{ cm}$. La hauteur du petit cône est donc la différence entre la hauteur totale et celle du moule : $12 - 4 = 8\text{ cm}$. Pour trouver son rayon $r$, on utilise le coefficient de réduction $k = \frac{\text{petite hauteur}}{\text{grande hauteur}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Le petit rayon est donc $r = 3,75 \times \frac{2}{3} = 2,5\text{ cm}$. Son volume est $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 2,5^2 \times 8$.

Étape 3 : Soustraction. Le volume de la cavité est $V = V_1 - V_2$. En effectuant le calcul, on obtient environ $176,71 - 52,36 \approx 124,35\text{ cm}^3$. L'énoncé demande de montrer que c'est environ $125\text{ cm}^3$, ce qui valide notre raisonnement.

Question 2 : Gestion des quantités et conversion

Léa possède $1\text{ Litre}$ de pâte. Ici, le piège principal est la conversion d'unités. Le rappel nous indique que $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3$.

Léa veut remplir 9 cavités à $\frac{3}{4}$ de leur volume. Le volume total nécessaire est donc : $V_{\text{total}} = 9 \times 125 \times \frac{3}{4}$. En calculant, on obtient $9 \times 93,75 = 843,75\text{ cm}^3$. Puisque $843,75 < 1000$, Léa a suffisamment de pâte. Il est crucial ici de bien rédiger la comparaison finale pour obtenir tous les points.

Les Pièges à Éviter

1. Diamètre vs Rayon : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser $7,5$ comme rayon. Pensez toujours à diviser par 2.
2. Oubli du coefficient 9 : N'oubliez pas qu'il y a 9 cavités dans le moule, pas une seule.
3. Calcul du petit rayon : Certains élèves essaient de deviner le petit rayon au lieu d'utiliser le rapport de réduction ou le théorème de Thalès dans une section plane du cône.
4. Unités : Ne comparez jamais des Litres avec des $\text{cm}^3$ sans faire de conversion préalable.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, structurez votre réponse en utilisant des connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Présentez clairement vos formules littérales avant de passer à l'application numérique. Même si vous n'arrivez pas au résultat final, laissez vos traces de recherche comme le demande l'en-tête du sujet : au Brevet, la démarche est souvent plus valorisée que le résultat brut. Une figure annotée au brouillon peut également vous aider à ne pas vous perdre dans les hauteurs ($12$, $4$ et $8\text{ cm}$).

Importance de ce thème au Brevet

La géométrie dans l'espace représente environ 15% des points de l'épreuve. Maîtriser le passage du 2D (Thalès pour le rayon) au 3D (formule de volume) est la marque d'un excellent niveau en mathématiques de 3ème. Cet exercice est un parfait entraînement pour réviser simultanément les volumes, les fractions et les grandeurs et mesures.