Introduction : L'interdisciplinarité au service du Brevet

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2013 (Amérique du Nord) est un grand classique des mathématiques de 3ème. Il combine habilement trois piliers du programme : le calcul littéral, la géométrie dans l'espace (volumes) et l'étude de fonctions. Ce type de problème, souvent appelé "problème d'optimisation", demande à l'élève de passer d'une situation concrète (la fabrication d'une boîte à partir d'une plaque de métal) à une modélisation mathématique abstraite (une courbe de fonction). Comprendre cet exercice, c'est s'assurer de maîtriser la transition entre le monde réel et l'analyse algébrique, une compétence clé pour le lycée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Le domaine de définition (Question 1)

La première question demande : "Quelles sont les valeurs possibles de x ?". Ici, il ne s'agit pas d'un calcul complexe, mais d'une observation logique de la figure. Le carré de métal mesure 40 cm de côté. On enlève un carré de côté $x$ à chaque coin. Comme on enlève deux carrés sur la longueur totale (un à gauche, un à droite), la longueur totale enlevée est $2x$. Mathématiquement, $2x$ ne peut pas dépasser 40 cm, sinon on ne peut plus plier la boîte. Ainsi, $x$ doit être compris entre 0 et 20 cm ($40 / 2 = 20$). En notation mathématique, on dira que $x \in [0 ; 20]$. C'est ce qu'on appelle en analyse le domaine de définition de la fonction volume.

2. Calcul de volume et manipulation algébrique (Question 2)

Pour $x = 5$ cm, il faut visualiser la boîte une fois pliée. La base de la boîte est un carré dont le côté est réduit de chaque côté par $x$. Le côté de la base est donc $40 - 2x$, soit $40 - 2(5) = 30$ cm. La hauteur de la boîte correspond exactement à la valeur de la découpe, soit $x = 5$ cm. Le volume $V$ d'un parallélépipède rectangle se calcule par la formule : $\text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$. Ici : $V = 30 \times 30 \times 5 = 900 \times 5 = 4500$ cm³. Cette étape vérifie votre capacité à appliquer une formule de volume dans une situation de modification géométrique.

3. Exploitation de la représentation graphique (Question 3)

La troisième partie bascule vers la lecture de données. On ne vous demande plus de calculer, mais d'interpréter une courbe représentative.
a) Le maximum du volume : En observant le sommet de la courbe (l'extremum), on cherche l'abscisse $x$ correspondant au point le plus haut. Visuellement, ce sommet se situe aux alentours de $x \approx 6,7$ cm. C'est le point où la boîte possède la plus grande capacité de stockage.
b) Recherche d'antécédents : On souhaite un volume de 2000 cm³. Sur l'axe des ordonnées (axe vertical), on repère la valeur 2000. On trace une ligne horizontale imaginaire traversant le graphique. On remarque que cette ligne coupe la courbe en deux points. On lit ensuite leurs abscisses respectives sur l'axe horizontal. Les valeurs de $x$ permettant d'obtenir ce volume sont environ 2 cm et 15 cm. Il est crucial d'indiquer les deux valeurs, car une fonction peut avoir plusieurs antécédents.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice est l'oubli de la double soustraction. De nombreux élèves calculent le côté de la base en faisant $40 - x$ au lieu de $40 - 2x$. Rappelez-vous toujours qu'un segment possède deux extrémités : si vous coupez un coin à chaque bout, vous retirez deux fois la longueur $x$. Un autre point de vigilance concerne les unités : un volume s'exprime en cm³ si les longueurs sont en cm. Ne confondez jamais l'aire de la base ($cm^2$) avec le volume final ($cm^3$). Enfin, lors de la lecture graphique, soyez le plus précis possible en utilisant les graduations (ici, les pointillés orange aident à la lecture).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Justifiez la valeur de $x$ par une phrase : "On enlève deux fois $x$ sur un côté de 40 cm, donc $2x < 40$."
2. Détaillez votre calcul de volume : montrez le calcul du côté de la base ($40-10=30$) avant de multiplier par la hauteur.
3. Pour les lectures graphiques, utilisez des phrases types : "Par lecture graphique, on observe que le maximum est atteint pour..." ou "La droite d'équation $y = 2000$ coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont...".
4. N'oubliez pas l'unité (cm³) dans votre réponse finale à la question 2.

Synthèse des Notions : Vers la Seconde

Cet exercice préfigure le travail sur les fonctions polynômes de degré 3 que vous rencontrerez au lycée. La fonction étudiée ici est $V(x) = x(40-2x)^2$. Bien que vous n'ayez pas besoin de développer cette expression en 3ème, comprendre que le volume dépend du carré de la largeur et de la hauteur de manière proportionnelle est un atout majeur pour la suite de votre parcours en mathématiques. La maîtrise des outils graphiques est indispensable pour réussir les épreuves de contrôle continu et le DNB final.