Introduction aux Statistiques et Probabilités au Brevet

L'exercice 3 du sujet de Brevet de Mathématiques 2013 pour la zone Polynésie est un cas d'école parfait pour les élèves de troisième souhaitant consolider leurs bases en statistiques et en probabilités. Dans le cadre du programme de mathématiques de 3ème, ces deux thématiques sont étroitement liées : l'une permet d'organiser et d'analyser des données réelles (ici, les participants au Marathon de Moorea), tandis que l'autre permet de modéliser des situations d'incertitude et de hasard.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

L'énoncé nous présente une liste de coureurs classés par origine et par sexe. La première compétence testée est la capacité à extraire des informations d'un texte pour les organiser dans un tableau à double entrée. Cette étape est cruciale : une seule erreur dans le report des données faussera l'intégralité des calculs de probabilités qui suivent. Les données LaTeX sources indiquent sept catégories d'origines (Polynésie, France, Autriche, Japon, Italie, USA, Allemagne).

Guide de Résolution : Étape par Étape

1. Remplissage du Tableau et Calcul de l'Effectif Total

Pour compléter le tableau, il faut être rigoureux. On note les effectifs masculins et féminins pour chaque pays. Par exemple, pour l'Italie, on a 11 coureurs au total dont 3 femmes, ce qui implique $11 - 3 = 8$ hommes.
La question 2 demande le nombre total de participants. C'est ce qu'on appelle l'effectif total (noté souvent $N$). Il s'obtient en additionnant tous les participants : $90 + 7 + 6 + 2 + 11 + 2 + 1 = 119$. Ce nombre sera le dénominateur commun pour presque toutes les probabilités calculées ensuite.

2. Maîtriser les Pourcentages

La question 3 porte sur le calcul de la proportion des femmes polynésiennes. Pour calculer un pourcentage, on utilise la formule : $\text{Pourcentage} = (\frac{\text{Effectif partiel}}{\text{Effectif total}}) \times 100$. Ici, il y a 16 femmes polynésiennes sur 119 coureurs. Le calcul est donc : $(\frac{16}{119}) \times 100 \approx 13,445...$. L'énoncé exige un arrondi au dixième, soit $13,4\%$. Attention : l'arrondi est une étape souvent pénalisée par les correcteurs s'il est mal effectué.

3. Calculs de Probabilités en Situation d'Équiprobabilité

Dès qu'on lit "on interroge un coureur au hasard", on se place dans une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement $A$ se calcule par : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$.

• Femme Autrichienne (Q4) : Il y a 3 femmes autrichiennes. La probabilité est donc $\frac{3}{119}$.
• Total de Femmes (Q5) : Il faut sommer toutes les femmes : $16 + 0 + 3 + 0 + 3 + 0 + 0 = 22$. La probabilité est $\frac{22}{119}$.
• Homme Polynésien (Q6) : Il y a 90 Polynésiens, dont 16 femmes. Il y a donc $90 - 16 = 74$ hommes polynésiens. La probabilité est $\frac{74}{119}$.
• Événement Contraire (Q7) : Pour la probabilité de "ne pas être Japonais", on peut utiliser la formule du complémentaire $1 - P(\text{Japonais})$. Comme il y a 2 Japonais, $P(\text{Non Japonais}) = 1 - \frac{2}{119} = \frac{117}{119}$.

4. Analyse Critique et Raisonnement (Question 8)

Vaitea affirme que la probabilité d'interroger un homme polynésien est exactement trois fois plus grande que celle d'interroger un homme non polynésien. Pour vérifier cela, calculons le nombre d'hommes non polynésiens. Ils proviennent de France (7), Autriche (3), Japon (2), Italie (8), USA (2) et Allemagne (1). Total : $7+3+2+8+2+1 = 23$.
Comparons : $23 \times 3 = 69$. Or, le nombre d'hommes polynésiens est de 74. Puisque $74 \neq 69$, Vaitea a tort. Ce type de question évalue votre capacité à traduire un énoncé verbal en calcul mathématique strict.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est l'erreur de lecture. Bien distinguer "Polynésienne" (femme habitant en Polynésie) et "Polynésien" (l'ensemble des habitants ou spécifiquement les hommes selon le contexte de la question). Deuxièmement, ne confondez pas les probabilités et les pourcentages, bien qu'ils soient liés. Enfin, vérifiez toujours que la somme de vos probabilités partielles ne dépasse pas 1.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Expliquez d'où vient chaque nombre. Exemple : "Il y a 119 coureurs au total, et 22 femmes au total, donc la probabilité d'interroger une femme est de $\frac{22}{119}$." Utilisez une phrase de conclusion claire pour chaque question.